SriELTJES A H ERMITE
Toulouse, le 3 décembre 1888 (lundi soir). Cher Monsieur,
C'est seulement en ce moment que me parvient votre lettre qui a dépassé Toulouse et revient ici par Cette et Carcassonne.
Il me semble bien curieux (|ue votre méthode si naturelle pour obtenir lexpression de Q{ct) à l'aide de ài{a) conduit au même
LETTRE 158. Sog
résultat que l'artifice de M. Lercii qui consiste à introduire le fac-
teur — ; — -; dans l'expression transformée de Q.
Voici maintenant un résultat sur la série de Stirling dont j'avais déjà un pressentiment ce matin, La formule
(a) ijL(a) = — ; — / o(ar)J;'(n —]dx,
o(a" ) = / du,
étant vraie lorsque a est réel et positif, je remarque que l'intégrale a un sens, quelle que son la valeur de a (on doit exclure seulement la coupure de o à — go). En effet, x étant très grand, on a à
peu près cp(jc) = et, comme on a -];'( w + i) = -V (w) ^5 il
suffira de montrer que
Ç "^ cn^.r / X \ ^^
a un sens pour oj ^ + go.
Or, .
posant
Or, X variant de o à +go, l'argument décrit une di'oite et en
— — = Re'?, •iT.a
R croît de o à H- c/d, '^ restant constant. D'ailleurs '^ est compris entre les limites dz -n:. Or, il n'est pas difficile à montrer qu'on a alors
mod 4;'(Re'«P) < —,
OÏL étant une constante (qui dépend de '^ seulement de telle façon que 011 croît au delà de toute limite lorsque o s'approche de ±:tc, mais ici cp est constant).
Par là, on voit que
r'^ co=,x ,,( oc \ ^ ^ ^ r'^ dx
I <li dx < const. / — -,
/ X \iTzaJ J X-
3lO COKRESPO.NDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
donc l'intégrale a un sens. Il ne semble pas douteux, d'après cela, que la formule (a) représente [^.(a) dans tout le plan.
Voici maintenant comment on peut en déduire la série de Stirling. Je remarque d'abord que
du
donne
(p(x) = CO?a7 H- : ... -H smx ( -—
Je pose maintenant
?2(^) = / 0\{x)dx, ^%{x)= j '■s,^(x)dx,
J'obtiens ainsi une série de fonctions finies qui s'annulent pour .r = co, et l'on trouve facilement
Oj(ip)= cos.r — X (f (x), 2 Oi{x) = — sina? — X (fi(x),
303(X) = COS5" X(Dî(x).
^(Oi,(x)= siniF — x<f3(x),
5^5{x)= COS57 XO!,(x ,
<Di(x) = — sina^ I o.(x)= (
— z- -+-...-+- cosa7 — -
