STIELTJES A HERMITE

Toulouse, II décembre iS88.

Cher Monsieur,

J^a manière dont INI. Kronecker envisage le théorème fondamental de Cauchy

f f(z)dz = o,

Monatsberitchte, p. 688; i88o, p. 786; i885) me semble bien intéi'essante. Pour lui, ce théorème est un corollaire d'un autre théorème qu'on peut énoncer ainsi qu'il suit :

Soit/(.r, j') une fonction de deux variables réelles. Sup[)osons <\ue fix^ y) soit continue et finie ainsi que ses dérivées du pre-

LETTRE 159. 3l3

mier et du second ordre dans un certain domaine D. Alors, si l'on sait que les dérivées

ôx dy

sont uniformes dans le domaine D, on peut en conclure que /'(.r, y)

elle aussi est uni/orme dans le domaine D.

On dira qu'une fonctiony(^, y) est uniforme dans le domaine D lorsqu'on a

/ df{x,y) = o,

l'intégrale étant prise sur une courbe fermée quelconque tracée dans ce domaine.

En effet, considérons une courbe fermée C; d'après les hypothèses, l'intégrale double

prise sur toute l'aire de C, a une valeur finie, qu'on peut calculer soit en intégrant d'abord par rapport à x, soit en intégrant d'abord par rapport à y.

Dans le premier cas, on obtient

dans le second

/ / ■ , dx dy ~ — / -^ dx,

J J ùxdy -^ ^(C)^-^

les intégrales simples étant prises sur le contour de C dans le sens

3l4 CORRESPONDANCE D IIERMITK ET DE STIELTJES.

direct. On en déduit

iM"-P^)-L"^^-

Le théorème de Cauchy s'en déduit immédiatement. En effet, soit

f f{z) dz= f {P dx — qdj)^ i r (Qdx-hP dy).

Mais V dx — Q t(v' est une différentielle exacte et l'on peut écrire

Ç (Pda^-qdy)= fdfix.y).

Mais maintenant le théorème précédent s'applique, car

dx ' ôy

sont, d'après les hypothèses, des fonctions unifonues et finies ainsi que leurs dérivées; doncy(j;, j^) l'est aussi et

de même, on aura

f {Pdx-Q dy)= f df{x,y)^o:

/ {Q^dx -+- P dy) := I do{x,y)=o.

Voici une déduction de la décomposition en fractions simples de que j'ai expliquée pour mes élèves, comme application des

théorèmes généraux de la théorie des fonctions.

Je considère la série

(log,3 -l- •irmiy'

qui est évidemment convergente. On constate d'abord que/(::) est uni/orme. Ensuite, il est facile à voir que si ;; tend vers zéro, il

en est de même dey'(-)- ^t à cause de/(^) ^/(^ \ on voit aussi

LRTTRE 159. 3l5

que 5 := co est un zéro de la fonction. D'après cela, il est clair que /{^) ne peut devenir infinie que lorsqu'un des termes de la série devient infini, ce qui suppose :; = i . Et l'on a

[Iog( I -f- h )]- jimà [log(i -h A) -I- •i.n-KiY-

/( I + /O = TTo + T - • • • '

quantité finie pour // r^ o.

Donc la fonction /"( j) admet comme pôle double le point :; = i et n'en admet pas d'autres. Mais pour une fonction de cette nature le nombre des pôles doit égaler le nombre des zéros et ainsi les zéros :; = o et ^ = co sont des zéros simples. De tout ce qui précède on conclut

mais on a encore oÂ. ^= i , à cause de/'(i H- A) ^=: y-; -4-. . .. Ainsi, on a finalement

— 1)2 jLd

(5 — 1)2 ^ (log J -i-2«TIf)2

OU bien

d'où par intégration

~^ = Sf — ' — ■ '—

ou bien isolant le terme répondant à n = o

e« — I a z .M^ \ z -\- -1 II Tz i a -T- 2 mzi

et pour a = o I I I

■2 z âê^ \ z -+ ■inni inizi

{ Il =±l. ±2, . . .),

2 z ^.À Z-+ \ n^-iz-

3l6 CORRESPONUANCE d'hERMITE ET UE STIKLTJES.

Je remarque qu'on pourrait obtenir de la même façon la décomposition en fractions simples des fonctions elliptiques. Soit, par exemple, la formule (votre Cours, p. 229, y édition)

En posant

on a

z = sn2[F(^)],

et ainsi la formule (i) peut s'écrire

ou, en prenant la dérivée, il vient

{■JL) — /.-2 ^z(i-z)(i-/^'-z) = 2

Or, on pourrait établir cette formule directement en étudiant la série qui figure au second membre.

En posant

on constate directement que 'j>{z) change de signe lorsque z décrit

un contour fermé enveloppant les points o, i , r^ • Mais a(-^)- est

une fonction uniforme. Il est facile encore à constater qu'elle

s'annule pour z = o, i, .-• Et ensuite on voit qu'elle n'admet

pas de pôle autre que le point ; = oo. Lorsque z s'approche de 2 =00, un terme et un seul de la série devient infini et il est donc facile à voir comment se comporte 'j>{z) ou 0(5)^ dans le voisinage de z = co. On établit de cette façon la formule (2) d'où l'on déduira ensuite facilement (1).

Cette méthode suppose seulement qu'on ait étudié la nature de l'intégrale F(^) ou si l'on veut la fonctiou inverse sn-;. On doit avoir poussé celte étude assez loin pour connaître toutes les racines

de l'équation

sin-^ = su- a.

LKTTRE H)0. 817

En somme, celte méthode ne peut être considérée que comme une vérification, mais elle me semble instructive néanmoins. Aussi au fond je n ai appliqué qu'une idée de Riemann. Pour obtenir l'inversion d'une intégrale elliptique, il étudie d'abord cette intégrale, ensuite il étudie les fonctions 0. En substituant alors l'intégrale dans la fonction 0 comme argument, il obtient une fonction qu'il reconnaît être une simple fonction algébrique. Vous savez qu'il a appliqué ce procédé synthétique à des problèmes bien plus généraux. Mais, en somme, la marche indiquée plus haut est parfaitement analogue. La seule différence c'est que je considère une série double au lieu d'une fonction 6.

Votre bien sincèrement dévoué.