HERMITE A STIELTJES
Paris, i3 décembi*e
Mon cher Ami,
Votre dernière lettre du 11 m'a ravi et enchanté; je partage entièrement votre sentiment sur les fonctions de deux variables, et sur la manière dont il convient de caractériser qu'elles sont uniformes dans un domaine, par la condition / d f{x^ y ) ^:^ o.
Mais vous excluez les variables, comment donc procéder alors?
Votre analyse concernant la fonction /"(c)^ 7 —, ■. — -
est délicieuse, exquise, et je ne manquerai pas de la donner à la Sorbonne. Elle me donne beaucoup à penser, et ce que je vais vous en dire se sera certainement déjà présenté à votre esprit.
Les déterminations de linlégrale F(:;)=^ / — ^
qui proviennent de tous les contours possdjles d'intégration, sont comprises dans les deux formules
— F -+- ( 4 »n- 2 ) K -f- 2 niK', de sorte que la fonctu»n
?'>-') ^ ^ ( K -H 4 ,n K -1- 2 niK' )« "^ ^ [— F -^ ( 4 m -t- 2 ) K H- 2 /? tk' )3
3l8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
est certainement uniforme. Mais, en procédant de même avec l'in-
11 j ^ r" /x^z- dz , ,
teerale de seconde espèce / - , on |)eut semlna-
blement parvenir à une fonction uniforme; cela étant, à quoi tient-il que la première soit une quantité si simple, et que la seconde soit archi-transcendante. L'équation qui s'offre sous votre
, f" k^z dz 1 • n- • • (^ • ' 1
l)0int de vue / — = o doit oitrir une inimité de
solutions, peut-être j aurait-il lieu de s'en occuper avec soin. Mais vos idées me paraissent surtout intéressantes et importantes si on les applique à 1 intégrale abélienne de première classe
où
R(z) = z{i — z)(i — kz)(\ — ÂZ)(i — ixz);
soient : (i), (A), (a), (u.) les diverses intégrales / "t
' '^ — } • • • la lonction uniiorme analogue a ci( ; ) sera
^iz)= V[ F -H 2m(i) -h ■im'ik) -^ ■2m"(l) -h ■2m"'{ix)]-p, H- V[— F M- (2m -M)(i) -f- ■2/»'(A-) -+- 2m"(/ ) -t- •im"'( [i.)]-p,
et, si l'on pouvait étudier l'équation F = o, il semble qu'on se trouverait sur la voie d'une nouvelle transcendante qui se rapprocherait autant que possible des fonctions elliptiques, comme ne contenant qu'une seule variable.
Mais j'ai d'autres devoirs pressants qui me détournent en ce moment du calcul; je compte m'y remettre après le jour de l'an, lorsque j'aurai retrouvé ma liberté qui maintenant me fait absolument défaut. Et puis, les premiers froids m'ont enrhumé, grippé, ce qui ne constitue pas des conditions favorables pour le travail.
En vous renouvelant, mon cher Ami, l'expression du vif plaisir que j'éprouve à recevoir communication de vos idées si intéressantes pour moi, et que je saisis au premier coup d'œil sans aucun effort, et avec l'assurance de mes sentiments de la plus sincère affection.
LETTRK 161. 3 19
Paris, 21 décembre 1888.
Mon
La formule de Gauss pour l'évaluation approchée des intégrales définies m'a conduit à une question dont je me permets de vous entretenir, dans l'espérance que peut-être elle vous suggérera quelques remarques dont je serais heureux de profiter, cette fois comme tant d'autres. Je considère deux fonctions que je suppose pouvoir être représentées par ces développements
F (^ ) = Ao -I- A., 37 -4- A, a;^ -H . . . , f{x) = cIq -^ aix -\- a^x^ -^ . . . ,
et je demande de déterminer 'in constantes à savoir
de manière qu'on ait, en négligeant .r-" et les puissances supérieures,
¥(x) = Kfirx) -^Sf(s.v) ^ . . .^ li f(ux).
Vous voyez que c'est une généralisation de la relation de Gauss, qu'on obtiendi'a si l'on suppose
Le problème est déterminé, puisque l'identification donne 2n équations
Ao = ao (R -+- S -H...-f-U),
Al = ai (R/- -4- Sx -(-...-}- U «), (A; ' A2 =a., (H ri ^Ss'^ -r-. . .-^ U «-),
maintenant voici la solution.
J'envisage la fonction suivante :
' aox a\X^ a^x^
320 COllRESPONDAiNCE d'HERMITE ET OE STIELTJES.
et je forme la réduite d'ordre n de son développement en fraction continue ^ On aura donc en développant suivant les puissances descendantes de la variable, la relation
Cela élanl, je décompose en fractions simples la fonction rationnelle ,r> et l'obtiens immédiatement la solution cherchée. En V "^
admettant, en effet, que \ =^ o n'ait que des racines simples et
posant
la relation (B), donne les équations (A) en égalant, dans les deux
membres, les coefficients des termes en -? — -j • • •> — — •
Une conséquence de ce résultat est à remarquer, c'est lorsqu'il arrive que o(:r) est une fonction rationnelle; en prenant alors,
pour la réduite içj , la fonction elle-même, on a exactement et sans rien négliger
F(x) = R/irx) -+- Sf(sx)-i-. . .-+- U/(ux).
En d'autres termes, si la série ao+ a,.x' + y..,x--^. . . est le développement d'une fonction rationnelle, la fonction
Ao-t-AiJ7-t- A2^--+-...
s'exprime linéairement au moyen de la suivante :
Ao , Al A, , ^
M. *** dont je viens de recevoir une lettre très intéressante, me met dans un grand embarras au sujet de l'expression de Q(<^) par la série / [iù -\- may^ e'^^' '""^ (/;i = o, i, '.i, ...). J'ai encore recours, mon cher Ami, à votre bonne obligeance, en vous priant en grâce de lire le post-scriptiun de sa lettre que je vous envoie, et de m'en dire votre avis. . . .
Excusez-moi si j'abuse de votre bonté et veuillez agréer la nouvelle assurance de ma bien sincère affection.
LETTRE 162. 3îîl
