STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, le jS décembre 1888.

Cher Monsieur,

Je vous remercie vivement pour la communication de voire généralisation du problème de la quadrature de Gauss. En posant avec vous

/( X ) = 2. '■'''I ^"^ mot! ^ < R,

co( j^') = V — ^:r-"-i nio(l-<Ri,

je remarque qu'en supposant

p < mod;; < R,

p étant un nombre quelconque inférieur à R, et

mocl.r < p Ri, les développements

/( z) =^ af^-{- aiz -\- (toZ- -h . . ,, An .V A, .r2

sont convergents tous les deux, en sorte qu'on obtient en intégrant sur un cercle d'un rayon compris entre 0 et R

— ^. I /(z)'f(^'^ j dz = Ao.v-\-\iX-^^...= xF{x).

On obtient ainsi une valeur finie de F(x) tant que mod./' ■< oR| et comme p peut s'approcher indéfiniment de R, j'en conclus que le rajon de convergence de la série F(x) est RR,, ce qui est bien connu. En supposant, avec vous,

Y ^2«-t-l ^•y.n-hi

322 CORRtSPONDANCE D'HERMITK ET DE STIELïJES.

on a

t¥{x)= : fiz){ 1 \-...)dz

■?,T.iJ \z — rx z — SX j

c'est-à-dire

Y{x) = R/irx) -(- S/(s,r )-+-...

-f- sasrt^'-"-!- î'«2/(-+-iar-"+i -h. . ..

Mais ce n'est là qu'une modification de votre analyse et je ne sais pas si elle permettra de pousser plus loin cette étude.

Les polynômes U et V dépendent seulement des a/i premiers coefficients du développement de ^(^), mais on peut changer arbitrairement ces coefficients sans affecter le rayon de convergence R,, et aussi, paraît-il, sans affecter d'une manière notable la nature de cette fonction 'f(x). Il semble donc qu'on ne peut rien dire en général sur ces racines de V = o.

Voici ce que je trouve en examinant la note de M. ***,

La série

(I) Q(,a)=.2](^^^è^)*vW(i -«-vj

est convergente toujours en supposant

et elle représente toujours Q(i — a).

Quant à

(II) Q(i - «j =2 ( - i)v-i (""^^"^j Pv S(i -a- V),

comme M. *** le remarque, elle est convergente seulement pour

et elle représente alors Q(i — a).

La convergence de la série (I) est très facile à établir. En effet, il est clair que

*v< e" I r'-i dt, *v < e" — »

et lorsque x est négatif il est clair que

"^{x) < (w -H a)-p Ve-

Oi—/nu —

ainsi, le module d'un teiune éloigné est inférieur à

la série est donc convergente comme une progression géométrique

de raison à peu près. Pour se convaincre qu'elle représente

toujours Q(i — a) il suffit de remarquer que si (1) est vraie pour un système de valeurs u, oj, elle l'est encore en remplaçant w par M-'r II- En effet, par ce changement le premier membre diminue de

i e--^ x-'^ clx — I ey-^-" {(X) -^ Il — y)~'"dy,

il n'y a pas ici ombre de doute sur la légitimité du développement

ce qui donne, enfin.

pour la quantité dont diminue le premier membre de (I) en changeant to en tu H- ii. Mais il est clair que c'est là précisément aussi la quantité dont diminue le second membre. Donc la formule (I) est toujours vraie, mais en somme je n'ai fait que suivre la voie que vous m'avez indiquée. Si M. *** indique w 4- « >> i comme condition de convergence, c'est qu'il doit n'avoir pas fait attention à la variation des nombres <i>v<re"— • Du reste, il est clair, d'après ce qui précède, que la série converge à peu près comme une série géométrique de raison -, cela provient de la

série i H — — h- • • ou k a pour limite supérieure u.

r fil -I- Il •■ 1 1

324 <;ORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.

Après avoir établi

—^Ip—Ui-U

il n'j a qu'à remplacer avec vous to par co + ?/, to + 2 m, . . . et de faire la sommation. Si l'on suppose, comme M. ***, rt>o, tous les termes sont positifs, la convergence est absolue et l'on peut prendre les termes dans un ordre quelconque. On obtient ainsi en toute rigueur ( [), mais le résultat subsiste quel que soit a. De même, on voit que (II) est convergente pour u << to, la convergence est comparable à celle de /, ( — ) • • • •

Quant aux expressions de R„, P«.',, il n'v a pas de difficulté à obtenir de telles expressions, en écrivant, par exemple,

( 0) -H U — y )-"' = ( tu -i- M )-" ( I

avec un reste. Il est clair qu'on obtiendra ainsi une expression qui montre la convergence de la série, R,; doit renfermer un facteur ( ) L'expression de M. *** laisse à désirer sous ce ran-

port. Peut-être a-t-il suivi sa métbode de déduction, et je remarque, en effet, qu'elle présente des facilités pour obtenir K„, mais, en faisant ce calcul d'une manière convenable, on doit arriver au même résultat que tout à l'heure.

J ai rédigé provisoirement mes réflexions sur la fonction F et la série de Stirling pour les reprendre plus lard plus facilement. J'ose prendre la liberté de vous les envoyer a\"'ec la prière de vouloir bien les donner à M. Bourguet lorsque vous le verrez. Si vous avez le loisir d"j jeter un coup dœil, je crois que la déduction de la formule

I, I /"" X du

log

X e-27lK

\o^V{x) — Ix \\o\^x — X ^ — logar -i- - /

à l'aide du théorème de Gauchv

/(-)=-^ f^^^^clx,

•^ 'llT.Jz~X '

page i4« vous fera plaisir. On peut donc se dispenser de petits

artifices dont on a besoin jusqu'à présent pour arrivera ce résultat. 11 reste à noter que, tandis que la véritable origine analytique de l'intégrale

du

; los

p—iTZU

se trouve ainsi dévoilée, celle de l'intégrale

I gax i l — L dx.

( votre cours), page 124, reste obscure.

Je suis un peu souffrant depuis quelques jours, c'est un mal d'oreille. . .. Mais c'est la première fois que cela s'est déclaré chez moi. Cela me donne un grand mal de tête et m'empêche de dormir.

La fin de l'année est si proche, que je vous offre déjà mes meilleurs souhaits pour l'année prochaine.

Votre sincèrement dévoué.

P. S. — Je ne veux pas encore trop me plaindre de mon mal, car c'est dans une insomnie que j'ai vu l'origine de l'intégrale de Binet. Mais enfin, cela ne doit pas durer.