STIELTJES A HERMllE

Toulouse, 25 décembre, soir, 1888.

Cher Monsieur,

Je viens de faire une observation si curieuse que je ne peux m'empècher de vous en faire part. C'est une application de mes formules

condition

- \fiz)\dz ^^^

condition

uB

■ du,

^ \/(z)\dz ^

320 CORRESPONDANCK d'hERMITE ET DK STIELTJES.

OÙ

/( ui) = A -+- B t, /( — ui) = A — B i.

D'après la seconde, jai

., , 2 /"" «B /(<7 -4- «n = A -4- Bt,

(i) fia +x)=— - I ., ^du

donc

Bdu,

mais de (') je tire en multipliant par dx et intégrant, si dans le second membre il est permis de changer l'ordre des intégrations,

(3) ff(a-hx)dx^— f Bdu,

et, si l'équation (i) qui suppose partie réelle :c >> o est encore vraie pour a; = o,

et ainsi (2) peut s'écrire

y (a -+-!)+/(« + 2; H-... = / J(a^x)— - fia) ~i -;^

C'est là une formule d'Abel, OEuvres, t. I, p. 38 en bas. Mais la méthode précédente jette une nouvelle lumière sur ce sujet, la méthode d'Abel manque de rigueur tout à fait.

Il faudra voir aussi à rattacher aux théories de Cauchjla formule sommatoire d'Euler et de Maclaurin. Ce sera possible probablement. Lorsque M. Malmsten a publié son Mémoire sur ce sujet de nouveau dans les Acta, la rédaction dans une ISote faisait entrevoir l'espoir d'une extension de la formule aux variables imaginaires (' ).

D'après ce qui précède, je crois qu'il sera possible de démontrer

la formule à l'aide des méthodes de Cauchy, mais je ne crois pas

que l'extension aux valeurs imaginaires existe. En effet, plus haut,

lï fallait supposer

/■( a -I- ni ) = A -)- Bi,

y ( a — // / ) = A — B i, (') \o\r Acta Matheinatica, l. V. p. i.

en sorte qu'on a réellement à faire avec les fonctions d'une variable réelle. Aussi le théorème (I) par exemple ne s'applique pas lorsqu'on prend pour f{x) une constante purement imaginaire. Le second membre serait nul.

On peut envisager (I) sous un nouveau point de vue en prenant pour A une fonction réelle arbitraire de a telle que

liin — =0 ( f< = oc; /i < i).

Alors l'intégrale existe et définit une fonction d'une variable imaginaire .r, dont la partie réelle se réduit à A sur l'axe des y.

Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouement.

Paris, 28 décembre 1888.

Mon cher Ami,

Veuillez agréer mes souhaits de bonne année que je vous adresse de tout cœur, et en même temps mes vœux.

A mes souhaits de bonne année je joins mes remercîments pour vos dernières lettres et surtout pour le résumé de vos études sur la fonction F, que je vous demande l'autorisation de conserver quelques jours avant de l'envojer à M. Bourguet, à qui je l'ai annoncé. J'ai le plus grand intérêt à le lire et à l'étudier, mais il me faut du temps, ayant mille choses à faire en ce moment. Vous savez sans doute que M. Bourguet conteste votre conclusion que la série de Stirling est applicable dans toute l'étendue du plan, même lorsque la partie réelle de la variable est négative. D'après lui, la série n'est valable qu'à droite de l'axe des ordonnées et voici le motif qu'il m'en donne. Supposons la relation

J(a)= ^J ...^(,y.-. ËZ^ ^R,

et désignons par R' ce que devient R lorsqu'on change a en — a; on aurait évidemment

J(a)-h J(— rt) = R-+- R',

328 CORRESPONDANCi; d'hEUMIÏR RT DE STrELTJKS.

quantité qui dépend de l'entier /?, ce qui se trouve en contradiction avec la propriété suivante, que M. Bourguet a découverte :

i(a) -hi' — a) = — 1 log(i — e27ta<).

En attendant que vous ajez le dénouement de la difficulté, je fais encore appel à votre bonne obligeance en vous priant de m'expliquer ce point de votre lettre du a3 décembre, où vous dites qu'en supposant que R soit le rayon de convergence des séries

F(.r) --^A,,^", f{x)^^ancr".

et que la série

Jmà a,,

soit aussi convergente pour mod - < Ri, on peut en conclure, ce

qui est bien connu, que RR, est le module de convergence de ¥{x). Comment donc, mon cher ami, parvenez-vous à cette conclusion? Comment le rayon de convergence de F(\r), que nous supposons égal à R, devient-il ensuite RR , ; comment, enfin, cette conséquence est-elle bien connue?

■ Excusez-moi, je vous prie, de ne pas apercevoir ce qui est clair et évident pour vous, et plaignez-moi de ne pas avoir une suffisante liberté pour me consacrer plus entièrement à l'Analyse.

Les résultats de M. ***, sur la convergence des séries qui représentent Q(i — rt), me causent beaucoup de surprise, et me paraissent très dignes d'attention; grâce à vous, je vais ])Ouvoir les étudier à fond et m'en rendre bien compte.

Encore un mot sur la formule de Gudermann; dans une de mes leçons de cette année, je la lire de l'cxjjression

en rem[)laçant

■ par >£'/■•' H (A- = o, i, 2, . . ., /i — i).

pX ( ■;> y^ \ ^ X

La décomposition de la quaiiliti' e^"^'"''-^' -^ en

éléments sim|)les donne l'intégrale définie, immédiatement, et on

trouve ainsi

1 / ^ \ ^ / ^. . /- . \ ] ^fV 1 , 1

J ( et ) — - T \ O -t- A -+- 1 lui; 1 -t-

Avec la nouvelle assurance de mon affection cordiale et bien dévouée.