STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, ag décembre i888.

Cheu Monsieur,

En vous remerciant pour \otre souhait de bonne année... je peux vous dire aussi que mon mal ne paraît pas bien grave à mon médecin. Cela doit être un abcès dans l'oreille qui se guérira avec un peu de patience et de repos, mais c'est très douloureux; heureusement, je constate déjà un mieux sensible.

Je suis très honoré que vous voulez garder un peu mon manuscrit pour l'étudier et naturellement vous pouvez le garder pour cela.

Maintenant, je répondrai encore succinctement à vos questions. Dans la lettre du ^3, je dois avoir écrit

¥{x)^^knT'',

modr < R,

niod- < Ri.

Ainsi je ne fais pas de sup|)osition sur le rajon de convergence de F(.r ) ; mais il suit de mon raisonneinent que ce ravon est RR, . Ce théorème, en ell'el, doit être connu; si l'on a

^^a„x", rayon de convergence R,

^ bnX"\, » » R].

Alors le rayon de convergence de

^^aabnX"

33o CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

e^laii moins RR,. Je crois que ce ihéorème se trouve énoncé explicitement dans un Mémoire de M. Pincherle dans le Journal de Brioschi. Mais la chose... est bien facile à démontrer. Soient ;• un nombre positif un peu inférieur à R, /•,... un peu inférieur à R|, les séries

sont convergentes et même absolument convergentes. Aussi on a quel que soit n

P, Q étant des nombres finis, d'où

ce qui montre que 2 i^nbnX" est convergente tant que x reste

inférieur à rix...^ mais rr^ peut s'approcher indéfiniment de RR, .

La remarque de M. Bourguet

J(a) -+- J(— «) = — Iog(i — e^7t«')

est parfaitement vraie; toutefois, il faut supposer essentiellement que le coefficient de i dans a

est positif, y ^ o ; ainsi

I — 227la/ — , — e-27t7(cOS'2/>7: -H i sin2/>7i).

Lorsque a croit indéfiniment, il en est de même de q (autrement un des points a ou — a resterait toujours dans le voisinage de la coupure, cas cjue j'exclus expressément). Et alors vous voyez bien que J(a) -\- J( — a) tend vers zéro. \\ n'j a pas de contradiction avec mon résultat, dont je crois du reste cjue la démonstration est inattaquable.

Veuillez bien agréer. Monsieur, la nouvelle assurance de mon dévouement.

LETTIIE 166. 33l