SriELTJES A H ERMITE
Toulouse, le i4 février 1889.
Chku Monsieur,
Le théorème sur les fonctions de deux variables réelles, d'où M. Kronecker déduit comme corollaire le théorème de Cauchy, s'énonce ainsi :
Soit f[x^ y) une fonction réelle des varialdes x. y lellr (|u<'
LETTRE 167. ài'i
dans un domaine D à contour simple (j'ai peut-èlre omis celle condilion qui est nécessaire) les dérivées partielles
dx ôy
soient finies el uniformes et admettent encore des dérivées finies (qui sont alors uniformes aussi naturellement), alors la fonc-
TIOJVy(x, )') ELLE-MEME EST AUSSI NÉCESSAIllEMEiV T UNIFOllME.
En eftél, il s'agit de démontrer
(ff(.^^ y) = o>
pour un contour fermé C à l'intérieur de D. Mais G forme la limite entière d'une certaine aire qui fait partie de D, et pour cette aire-là
dx dy
dx dy
a une valeur finie, qu'on peut évaluer de deux manières en intégrant d'abord par rapport à x ou à jk; on trouve ainsi
— dy ou — ; -^ dx (sur le contour C ),
Ov .fax '
et ces résultats étant égaux
/ Ox^''^'à^ '^■^' ^ / '^'^^■^'' -^"^ = °' ^- "^^ •'• ^•
D'après ce théorème même il n'' existe pas une fonction f\x^ y) non uniforme dans D et dont les dérivées partielles seraient uniformes.
Mais considérons un domaine D qui n'est pas à contour simple. Si je considère un point ^{x, y) dont les coordonnées polaires sont /■ et 8, on ne peut se refuser à admettre comme fonctions de x.,y les expressions
S{x, y ) = r cos - 0.
La première est finie dans D..., mais elle n'est pas uniforme,
si P décril le contour fermé PQRP, f{x,j') augmente de au. Cependant, comme les diverses déterminations de y^(^, jk) ne
diffèrent que par des constantes, vous voyez que les dérivées partielles ^-> y- sont uni/ormes dans D.
La fonction .f. .. est une fonction non uniforme d'une autre nature, ... elle admet deux valeurs qui se distinguent par le signe seulement, etc.
Du reste, si les analystes n'ont peut-être pas fait beaucoup attention à ces fonctions réelles de deux variables non uniformes, mais dont les dérivées partielles peuvent être uniformes (cependant cela seulement dans un domaine D qui n'est /?rt5 à contour simple), les physiciens (M. Helmholtz) en étudiant le mouvement des liquides ont été amenés aussi à reconnaître l'existence de ces fonctions dans le cas de trois variables x^j\ ^ (')•
Voici la généralisation du théorème de M. Kronecker pour le cas de l'espace.
Si une fonction /"(a:, r, z) admet des dérivées
^, ^", ^l, Ox ày dz
qui sont uniformes dans un domaine D et admettent encore des dérivées finies (du second ordre de y"), alors la fonction / ellemême est nécessairement uniforme dans D.
(') Voir le iSléinuiie d'ilelmholtz itiséré au t. 55 du Journal de Crelle.
Poiu" préciser :
On dit que /est uniforme dans D lorsque
d.f{.on, y, z) = o,
l'intégrale étant prise sur une courbe fermée à l'intérieur de D.
Mais ce théorème n'est vrai que si l'on suppose que le domaine D est de telle nature que chaque courbe fermée tracée dans D peut, par un changement continu et sans sortir du domaine D, se réduire à un cercle infiniment petit. Gela a lieu, par exemple, si D est l'intérieur d'une sphère ou encore l'espace compris entre deux sphères concentriques.
Mais cela n'a plus lieu si D est l'espace à l'intérieur d'un tore. Dans un tel cas, M. Helmholtz a remarqué l'existence de fonctions non uniformes, mais dont les déterminations ne diffèrent que par des constantes, en sorte que les dérivées partielles sont uniformes, tout à fait comme la fonction y(.r, j)/) = 8 de tout à l'heure.
Du reste, le même exemple peut servir; en posant
0 étant la longitude du point i^x^y^ c), c'est-à-dire l'angle du plan passant par l'axe du tore et du point {^x^y^ z) avec une de ses positions particulières.
11 est à remarquer que si l'on prenait la même fonction
dans le cas de l'espace compris entre deux sphères, cette fonction
ne satisfait plus aux conditions, car l'axe qui sert à déterminer les
longitudes passe alors en partie par le domaine D et en ces points 8
devient indéterminé y, ce qui n'arrive pas pour le tore. Et, en effet,
comme je l'ai dit pour l'espace compris entre deux sphères con-
, , , , ,. n •/> • , \ àf df df
centriaues, le théorème a heu et 1 uniiormite de -^» -— -, — entraîne
^ ' dx oy àz
l'uniformité de f.
Y et les dérivées partielles cessent d'être Jiiiies et continues.
J'ai pu perfectionner beaucoup ma méthode d'approximation de
rinlcgraie
f'' lifl
dx{^).
En etîel, ma première méthode conduit à une expression approchée avec le terme complémentaire
où
fnix) =fix)[m — '^(ir)]-2[(mi — 9' J?)]-. . .[/n„i — 'f (^)]-.
Je remarcpie que cette expression peut se mettre sous la forme
Dans ma nouvelle méthode, je considère directement cette expression qui est une forme cpiadratique de x^^ x-,, ..., x,i. Je détermine ^,, . . ., x,i par la condition que R/, soit minimum. En
posant
D\\. „ = I -i- j"i 9 -T- . . . -H a;,j es",
les conditions sont
2) f /ix)D]1„'^'^-' dx (A=i, i,
ou plus explicitement
I Co -H Cl a- -H. . .-I- c„ J"„=o,
le, -h c.>:ri-t-. . .-1- c„+i .r„ = o, r' .
(3) ' cx= / j{x)^
Le déterminant de ce système linéaire est positif et différent de zéro, c'est en même temps le déterminant de la forme quadratique définie et positive
/ fi-^) 'f (^)(-^i -i- X.20 -\- . . .-\- x,ii^"-^ }- dx.
( ' ) Ce passage se rapporte à la lettre de Stieltjes qui manque, signalée plus haut. (A'o/e des éditeurs.)
LETTUE 1G7.
Les Xi étant ainsi déterminés, on a
R„ = / ■LJlL 01^ ( I ^ ^ cç i .r, cp2 + . . . -4- xn cp« ) dx^
mais les termes avec x^, ...,x,i disparaissent en vertu des relations (2); donc
R„== f J1^0]l„dx,
r'' fix)
Kn = / ^— ^ (1 -h :r, ç -H. . . -H XnY')iix,
Soit donc
on aura
dx -H :?] Cq -I- a"2 Cl + . . . ■+• Xn C,i^\.
(:r,Co-f-. . .+ Xi,Cn-\).,
les équations (3) et (4) donnent
Cii — \ c,i
. . . Cn
ce sera l'expression approchée par défaut. On doit avoir évidemment K„>R„); et, en effet, en considérant la différence Rrt — K,^,, on arrive (à l'aide des relations entre les mineurs d'un déterminant symétrique) à mettre K„ sous la forme
Cn-i
Cn
Cl„-2
Ci C3
Soit
Ja ?(^
338 COURESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.
les coefficients A,, . . ., ku étant arbitraires, on a
donc
R R„ = Ç 4^ ( ^ — 3rL„ )2 f/x > O,
montrant que R^ est réellement minimum.
D'après cela, si je considère
r'' fix)
et
il est clair que
) dx
Jn T(^)
C étant une constante quelconque. Mais si m et M sont les valeurs extrêmes de cp, et si je prends
le lacteur (i — ^'f )" '^e varie qu entre o et ( -^^ I ? donc
Al + m
> (1 pt (
de même
' M + my ./, cp(ar)
donc
limR„= o.
Un cas particulier intéressant est
z constante. Alors vous vojez directement par les conditions (2) que dXLn ne diftère que par un facteur constant du dénominateur ^ii{x) de la fraction continue pour
on Mf)
puisque, pour z — .r' =z o, d\\„ doit se réduire à l'unité. D'autre part, la valeur de K„ est
K„= f'IMdx -!{,,= f'JA^Ui-dKn)dx, c'est-à-dire
c'est-à-dire que K« est simplement la réduite d'ordre n de la fraction continue de
IB
dx.
On voit par là que le terme complémentaire de la réduite d'ordre 11 est R« minimum de
/ ^ [i -I- a"i (^ — x) ^ ...-{- x„{z — x)"\^ dx.
Tant que les limites a et b sont finies, la démonstration de
lim R„ = o
s'applique et montre que la fraction continue est convergente vers la valeur de l'intégrale. Le résultat relatif au terme complémentaire de la fraction continue est nouveau peut-être, il l'est en tout cas pour moi.
34o CORRKSPONDANCE d'hEHMITE ET DE STIELTJES.
Mais vous vojez qu'il serait intéressant de prouver liniR„^ o,
même dans le cas que — = o. On prouverait alors en même temps
la convergence de la fraction continue dans le cas où la limite Z> = oc. C'est ce que, jusqu'à présent, on n'a pn faire, en général, quoique pour certains cas particnliers comme f(x) =^ x''~' e~'^ la convergence peut se démontrer par d'antres considérations.
Ayant trouvé par ce qui précède un nouveau point de vue. . . je veux nn peu réfléchir là-dessus avant de publier ces recherches que je mettrai volontiers à la disposition de M. Camille Jordan.
J'espère que votre aversion pour l'Analyse passera. Sans doute un tel état d'esprit, qui ne m'est pas inconnu, est ordinairement le résultat d'une trop grande fatigue.
Je vous renouvelle, cher Monsieur, l'expression de mes sentiments tout dévoués.
