HERMITE A STIELTJES

Paris, i6 février 1889.

Mon cher Ami,

Votre nouveau point de vue pour obtenir l'approximation de

•-^Ç— flx constitue un très heureux et très erand

progrès, votre analyse devient ainsi plus lumineuse et je ne puis assez vous dire avec quel plaisir j'ai vu l'application cjue vous faites au cas de .5(.r) = ; — x^ en établissant d'emblée que

011^^^ 'ÏH—^K cp„(x) étant le dénominateur de la //"'"* réduite du

développement de l'intégrale en fraction continue. Personne, cei^tainement, n'a obtenu ce résultat extrêmement remarquable, que le terme complémentaire de cette réduite est le minimum de l'expression

f /l^r, + j.,(^;r)-4-.. .^xJz — x)"YdT;

je ne sache pas non plus qu'on ait démontré que la limite soit nulle pour n infini. Quand vous aurez rédigé le Mémoire que vous

préparez sur celte question, ne pensez-vous pas en détacher cette conclusion dans une Note pour les Comptes vendus?

Gi'âce à vous, les ténèbres de mon esprit commencent à se dissiper au sujet des fonctions de deux variables et de la façon dont il faut les définir en tant qu'uniformes, lorsqu'on envisage seulement les valeurs réelles. Les exemples que vous me donnez

en considérant l'angle polaire 0, et la quantité /"cos-? comme

dépendant de x et y sont extrêmement lumineux, et vous me faites voir aussi très clairement comment la question se complique lorsqu'on considère certains domaines à l'égard des fonctions de trois variables.

En vous priant de me rectifier si je fais erreur, je vous demanderai encore si l'on peut dire que la condition nécessaire et suffisante pour que f\x,y) soit uniforme, dans un domaine D à contour simple, c'est que la fonction reprenne la même valeur lorsque les variables étant supposées représenter les coordonnées d'un point de D, ce point revient à sa position initiale après avoir décrit un contour fermé quelconque contenu à l'intérieur de D. Puis, peut-on en conclure que cette condition, remplie à légard de f[x,y)^ est remplie nécessairement pour toutes les dérivées partielles? Ou bien doit-on prendre pour définition d'une fonction uniforme

l'équation / cl f(^x^ y) ■=■ o pour un contour fermé G à l'intérieur

de D, en admettant que la fonction soit continue et finie à l'intérieur de D?

C'est ce que vous faites à l'égard des fonctions de trois variables, mais je resterai dans le cas de deux variables seulement, et alors il me semble bien qu'une fonction doit être considérée comme uniforme alors même qu'on admettrait, à l'intérieur de D, des lignes pour tous les points desquelles /( .27, jk) serait infinie, et des

points isolés qui lui feraient prendre une valeur indéterminée -■

La circonstance qu'il existe de telles lignes et de tels points n'empêche aucunement que la fonction reprenne la même valeur lorsque les variables décrivent des contours fermés qui les rencontrent ou les comprennent, mais il faut absolument renoncer à

l'équation / d f{x^ y) = o dans ce cas.

3/(2 CORRESPONDANCE d'hEUMITK ET DE STIHLTJES.

J'espère que vous comprenez bien que j incline à trouver préférable une tlélînition qui s'applique au quotient de deux fonctions entières; en tout cas, je serais lieureux de recevoir vos avis sur un sujet de si grande importance et auquel je n'ai, pour ainsi dire, jamais songé jusqu'ici.

En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes meilleurs sentiments.