STIELTJES A HERMITE

Toulouse. 19 février 1889.

Cher Monsiei r,

Il me semble qu'il existe peut-être un léger malentendu entre nous concernant la définition de l'uniformité d'une fonction réelle de deux variables.

Dans les conditions où l'on se place de l'existence (en général) des dérivées partielles, la valeur de

/ df[x,y),

étendue le long d'une courbe AB, ne peut être que

fix.. yi) — fix^, pi) et par là il est clair de dire que

sur un contour fermé C, ou bien dire que ./(^, )) revient à sa valeur initiale si l'on parcourt la courbe C est exactement la même chose, et cela indépendamment des singularités qui peuvent exister ou non à l'intérifîur du contour.

Et il semlde aussi clair que si f[x, y) est uniforme dans un certain domaine, cela entraine nécessairement l'uniforuiilé des dérivées partielles. Mais, si l'on voulait insister sur une explication là-dessus, je crois que l'on pourrait raisonner ainsi qu'il suit : Je

considère /(.r, y) et . •

Faisons parcourir au point (a?, y) la courbe ABCDA dont la partie DAB est recliligne et parallèle à l'axe des X. On part de A avec des valeurs finies de

au point A (a^o, JKo)

et de

df( ce, y)

Or la valeur de Q est

Q = lim

f(xo -4- h, jKo) — fixo, Xo )

A proprement parler, il faudrait prendre h positif, mais, d'après

l'existence même dune dérivée partielle, on doit obtenir la même

valeur de Q, même en prenant h négatif.

Or, si l'on a parcouru le contour ABCDA, on revient encore

en A avec la même valeur P d'après l'hjpothèse de l'uniformité.

Si donc on applique maintenant de nouveau la définition de la

dérivée partielle pour savoir ce qu'est devenue cette dérivée, on

obtient encore

f( .r „ -L- h , r 0 ) — /'' .'^n , ro ~) lini ■ '■ — ; '■ >

identique avec la définition de Q. Sommairement, comme dans l'hypothèse de l'uniformité, f{x, y) n'a qu'une seule branche, il en est de même de toutes ses dérivées partielles, par le fait même qu'une fonction bien déterminée n'admet pas plusieurs dérivées, ou autrement : la définition des dérivées ne laisse pas place à une

ambiguïté.

Ainsi, il peut très bien arriver qu'une fonction soit uniforme et admette cependant des singularités. C'est ce qui arrive, par

344 CORKESPONDANCK d'hERMITE ET DE STIEI.TJKS.

exemple, à l'origine [x = o, y = o) pour les dérivées partielles de cette fonction

/{x, y) = @, par exemple

Ces dérivées sont uniformes, mais discontinues à l'origine.... Ces exemples montrent que le théorème de M. Kronecker n'est pas une banalité.

Je vous avouerai que je n'ai d'abord rien compris au premier passage où M. Kronecker énonce son théorème. En effet, l'essence du théorème est d'affirmer l'uniformité de la fonction comme conséquence de l'uniformité de ses dérivées partielles (sous certaines conditions restrictives). Or, par inadvertance, M. Kronecker a d'abord énoncé son théorème en comprenant, parmi les conditions'à imposer k/{x,y) Vuniformité de cette fonction!! Et comme il est très succinct, je me suis inutilement effoixé à pénétrer dans le vrai sens de ces quelques lignes. C est seulement après la lecture de sa seconde Note {^Berliner Monatsb., i885, p. 780) que j ai compris son idée. 11 j redresse aussi l'inadvertance qui s'était glissée dans son premier énoncé de 1880.

Il n'en reste pas moins vrai qu'on doit appliquer avec beaucoup de circonspection certains théorèmes généraux sur les fonctions de deux variables. J'en ai rencontré cet exemj)le. Soit

Vous verrez directement que sur le cercle de rajon 1 autour tle l'origine y(z) est purement imaginaire :

Si donc je considère la partie réelle de /"(s)

j'ai là une fonction qui satisfait à

dx- dy-

et qui s'annule sur le cercle C. Or, d'après un théorème général,

li;ttre 169. 345

une telle fonction cp ne peut s'annuler sur nn cercle (ou contour fermé quelconque) sans s'annuler aussi à l'intérieur du contour. Le théorème semble ici en défaut, mais la raison est celle-ci : la fonction '■p(^, y) présente, au point x =^ ^ i , y = o sur le cercle une indétermination et l'on ne peut pas dire, à proprement parler, qu'elle s'j annule. On peut s'approcher de ce point de telle façon que o tende vers une limite quelconque. Mais vous vojez qu'il suffit de bien peu de chose pour mettre le théorème hors d'usage. Il en est de même pour le théorème de Gauss, que si sur une surface fermée dans l'espace on a

cp(r, y, z) = const.,

la fonction es satisfaisant à l'équation de Laplace

d- * û- cp â^ 9

dx- ôy'- dz^ '

on a aussi, à l'intérieur de cette surface,

o = COIlSt.

Une simple indétermination sur la surface suffit pour détruire le théorème.

Permettez-moi de vous demander, en terminant, un renseignement. Dans le Jouinal de Crelle, t. iO, p. y.96, vous vous exprimez ainsi :

« Ce qui précède indique suffisamment une infinité d'autres conséquences analogues, qui toutes viennent dépendre de la recherche difficile, d'une limite précise du minimum d'une forme définie quelconque. Là-dessus je ne puis former qu'une conjecture. Mes premières recherches, dans le cas d'une forme à n variables

de déterminant D, m'avaient donné la limite (4) V^D ; je suis porté à présumer, mais sans pouvoir le démontrer, que le coeffi-

cient numérique ( i j doit être remplacé par —

Je demande : a-t-on été plus loin depuis et votre limite présumée — " . l'a-t-on déjà établie rigoureusement?

3)6 CORUESPODANCE T)'llERMlTE ET DE STIELTJES.

Dernièrement, j'avais à considérer une question où il m'importait d'avoir la limite exacte, aussi petite que possible. J'ai cherché un peu partout, mais je n'ai pas trouvé. Vous pourrez certainement me dire ce qui en est.

Veuillez bien accepter, cher Monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouement.

P . S. — • Je vous enverrai sous peu, d'après votre permission, une Note pour les Comptes rendus sur la fraction continue

pour / nx.