X -+- v\" -"^ , -, ( /i — -ir) (t -^ y

2 cos —\ = > 2(/i),. cos ^^— ■

OU encore, en changeant /• en n — ar, puis semblablement

= ^-2(ft),vCOS -^ ■—

Soit, pour un moment, a ^= n — a/-, h ^ n ■ — 25, il viendra en

multipliant

V / , ^ a( X ->^ V) b( X — y) 2" (cos 37 -f- cos r)" = > 4( /^ ),.( /i)^. cos — — cos ^

Cela étant, je change y en — r, et j'ajoute membre à membre en divisant par 2. On trouve facilement

a{x -\- y) b(x — y) a(x — v) b{x-+-y) cos '■ — cos ^ 1- co* •— cos '■ — -

= cos X cos y -t- cos X cos y .

348 CORRESPONDANCE d'hERMITE El DE STIEI.TJES.

On a ensuite

de sorte qu'il vient, pour le développement cherché,

2"(cos3^ -t- cosjk)'*= 'SL-2{n),.{n)s [ cos(/i — /• — s)x co?>{s — i-)y

-i-cos(/i— /• — s)yco%(s — r)x],

où les entiers r eX s parcourent la série o, i, 2, . . . jusqu'à l'entier

contenu dans -•

Je ne puis assez vous dire combien j'ai vu avec plaisir l'extrême élégance et la simplicité de votre analyse, dans une recherche difficile et profonde, qui conduit si aisément à un résultat important et très caché.

J'ai peu travaillé pendant ces dernières semaines, M"^ Hermite ayant été malade d'une bronchite quia donné quelque inquiétude, mais dont elle est maintenant guérie, et je pense pouxoir me remettre à l'œuvre.

En vous priant de m'autoriser à annoncer à M. Jordan les recherches que vous m'avez communiquées sur les fractions continues, auxquelles j'attache un grand prix, je vous renouvelle, mon cher ami, l'assurance de mes sentiments affectueux et bien dévoués.