STIELTJES A HERMITE

Toulouse, 6 mars 1S89.

Cher Monsieur,

Je vous remei'cie vivemexat pour votre bonne lettre; veuillez bien être assuré de la part que je prends au deuil qui vient de vous frapper. Je vous prie aussi de vouloir bien me rappeler au souvenir de Madame Hermite. Votre méthode d'établir le développement de 2"(cosx + cosy)" est certainement ce qu'il y a de plus simple. Je me rappelle que M. Tisserand, dans un de ses

Mémoires, se sert aussi de la décomposition

.r -I- K X — y coscr -+- cos V = -i cos — —^ cos ^

mais sa méthode est beaucoup moins simple parce qu'il n'a pas eu l'idée heureuse de changer y en — y et de prendre la demisomme. Mais cette transformation

a(T -i- y) b(x — y) a(x — y) b(x -\- y) cos ^ ^— cos ^^-^ -4- cos — cos ^^-—

(a + b)x (a — b)y (a — b )t (a -\- b)y = cos — cos — i- cos cos ~

est jolie et un peu cachée.

Je pense toujours aux fractions continues. Soit /(/<) une fonction qui ne devient pas négative et telle que

ca- = / u''f{u) du (A' = o, I, 2, 3, ...), ait une valeur finie. Alors pour ^ >- o

/ ^ Z""" /"<"' 7 ^0 ^' ,C„-l C^ W'fill)

( I ) / ' c/u = -H . . . ± q= / du.

On a

Co Cl C,i C,i-hl

et ce rapport ""^' croît au delà de toute limite. La série (i) est

donc divergente, si l'on voulait la continuer indéfiniment; cependant. . . elle permet de calculer l'intégrale

/ ( u ) du

avec une certaine approximation qui dépend de la valeur de x. Mais je transforme la série

Cn c^

350 CORRKSI'O.NDAXJE DllERMlTt; ET DE STIELTJES.

en fraclion conlinue

alors tous les «/, ^/ sont positifs.

Les réduites d'ordre impair diminuent, une telle réduite est toujours supérieure à I.

Les réduites d'ordre pair vont en croissant, une telle réduite est toujours inférieure à L

Donc les réduites d'ordre impair tendent vers une limite A, les réduites d'ordre pair vers une limite B et

La fraction continue est convergente seulement lorsque

(même si elle n'est pas convergente elle permet de calculer I avec une certaine approximation comme la série divergente). Soit R« le minimum de

//( u ) ( I -f- a-i a -r- X.2, u--^- . . .^ x,i u" y- du,

alors

donc

lim R,j = X, « = a;,

et A est positif ou nul.

« Pour que la fraction conlinue (2) soit convergente il faul et

il suffit qu'on ait

Dans le cas

f{u) = «"-ig-'!'",

on peut calculer facilement

LETTRE 172. 35l

donc, clans ce cas

X = o et fraction continue convergente.

ainsi pour b ■=■ \

ua-lg-u T(a) au =

pour a = I c'est le résultat de Laguerre dans le Bulletin de la Société Mathématique de France. Mais Laguerre a considéré seulement les réduites d'ordre pair qui donnent des limites inférieures.

A étant égal à o dans le cas/(u) = u"~^e~^", il est clair qu'on aura encore }\ =: o dans le cas

yjourvu que 'f{u) reste inférieure à un nombre fixe, et la fraction continue est encore convergente.

Mais la question difficile qui m'occupe encore est celle-ci : n'at-on pas toujours X ^ o?

J'incline à le croire en ce moment et je chercherai à établir ce point. Voici encore un résultat

log V{x) = yx \ ioga- — ■ x ^ — \o^it. -\- ]{x),

Bi B,

On peut développer J(^) en fraction continue convergente "' = '-''^' J(^) = ^