CAD

— rt -4- .

Il me semble fort probable que clans le développement en frnetion continue de J(^) on a aussi, comme dans les iractions continues cjue je viens de décrire,

hm — - = consl. .:=—-• ( « = x).

On peut directement constater la convergence des fractions continues ^%> et iib à l'aide de ce théorème (dû à Stern et à Seidel). Une fraction continue

où les a sont > o, est convergente lorsque la série

a,-;- «2-^- «3-1- îCi^- • -, «-il divergente. Soit, en effet, P« : Q« la /<'^""^ réduite, on a

Qs = î^i ^2 2t3 -I- ai -4- as,

)nc

Qi<Q3<Q5<Q7<...,

Q2<Qv<Q6<Q8<-..- Or, on voit facilement que

Q2«-i> 2ti -t- aj-t-. . .— a.>„-,,

( Q2«>3ti(a2-i-ai-î-...-Ha2„),

car (^2/i-i ^c compose des termes a,, a;,, ..., a2«i et d'autres encore. De même, pour Qa,,. Or, la fraction continue est

(U Qi Q.Qi Q2Q3 ■■■ Q«-iQ«

mais si la série

ai -f- a2-t- a;j -: ...

est divergente, il est clair d'après (a) que l'une au moins des quan-

tités Q2«i Qaw? ••• croit indéjiniment cl l'autre croît au^éi. Donc la convergence est manifeste. Au contraire, si la série

était convergente, le produit (i H- a,)(i + a2)(i -h as). . . léserait aussi et, à cause de

Q,;< (I -+-ai)(i -t- a. ). ..(n-a„),

on au rail

limQ.,„i = A, liinQ2„=B,

A et B étant des nombres finis. 11 est clair alors que les limites de

^ m , 1 * iii-x

l'I de

diffèrent entre elles (eux), la différence est -t-ît'

^ Ad

A l'aide de ce théorème on reconnaît sans peine la convergence des fractions continues (%,l.) et (i(î>).

Veuillez bien agréer, cher Monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouement.

I* . S. — On peut écrire aussi

A, = lo->.,

loga =

if)

la /i"-'""= réduite de la fraction continue pour log2 est

356 COURESPONDANCE d'hKKMITE KT 1)1- STIELTJES.