Il ERMITE A STIELTJES

l'aris, l'i mars 1889.

Mon c.HEii Ami,

J'avais fait grise mine au déNclcippeincnl df

en fraction continue, à cause des nombres énormes qui figurent dans r/,, f/o, (i%, ..., mais vos nouveaux résultats m'enchantent. 11 me semble que l'on a

/"°° . , , I /"° tan <r?.r ,

ne doit-on ])as sup]joser a^\ dans les fractions continues, pour (|u 'elles convergent?

Où et quand [)uljlierez-vous l'analyse qui vous a donné ces formules si intéressantes et si nouvelles?

On m'a demandé un article pour les jMémoircs de Bologne et

j'ai eu ridée de le composer avec des applications de la méthode

I ,• • i> - \ «■■'■ {" -^ '')" (le La|)lace, a la fonction Iv(.r)^-— + • — ,,,^^, + • • • : iuix

cocfficienls (bi développement suivant les [missances de a\ de su./', de Bi (.r) et H| (.r), eu dernier lieu à Texpression (pu- Lanlâce a trail(''e lui-même

pour a\()ir l'occasion d'abréger et de siiuplilîer un |)eu sa mer \eilleuse anaivse. A l'égard de K(.r), je donne votre l'oriuule

'' 111- 1(1 II - \ ...arclang-^^ — )

4 n--ii-

comme vérification, en disant (pTelle a «'•le'' ohteuue sous une (oiine |.<'u dilTérenle j)ar jM. Lipsehil/ el .AI. Lercli ; mais j"aiuierais bien

LETTRE IT'l^. 357

que vous me disiez s'il ne serait point juste de vous citer, e^i disant que vous me l'avez communiquée.

Je vérifie aussi l'expression asymplotiqiie du coefficient tie .r'-" + ' ,

dans le développement tIe snj:, qui est i^/i.'>N2,t-n ^ P''^" ^^^le remarque bien facile.

Les pôles de sn.r étant /j> = 2«RH- (2 /v + r)/K', le lliéorèmc de M. Mittag-Lelïler donne

K sn j- = G C.r ) -t-V ( — !)''( — ' h '- + —)= A

OÙ il est aisé de voir que G"(j;)=rro. Effectivement les dérivées secondes de deux membres sont des fonctions doublement périodiques, donc G"(;r) est une constante, et cette constante est nécessairement zéro, ces dérivées étant des fonctions impaires.

Cette relation donne, pour le coefficient de.r-"+', l'expression

2}~T^r+h. ' ^^ somme se rapportant à tous les entiers a et h. Or, W

j a deux pôles p =■ /K' et /> = — i K' dont les modules sont égaux et moindres que ceux des autres pôles, de sorte que, pour n très

grand, on a sensiblement, puisque « = i , "-,.^^^^^ ; pour la valeur de la somme A.

Mais tout moyen de vérification m'échappe pour H| (.!•) el0, (j:); voici le calcul pour la premièie de ces fonctions.

La série

iT N 'V i/ — •' nTy.x , .

Hj( .r ) = > '2 l/<7"' COS — - ( /l = I, .J, •), . , .),

JKWli ■->. K

donne pour le coefficient de ? l expression

où les termes vont en croissant jusqu'à un maximum, pour décroître ensuite indéfiniment. Je pose

d'où

loï j{ Il ) = lin loir/t — — - , >

358 CORRESPONDANCE n'iIERMITE ET I)E STIELTJES.

])llis

la \aleiir (Je /? ([iil donne le maximum esLclonc

I mK

el j en conclus

log/(/i) = log(^-^^^^j —m, D;^log/(/0 = -

ttK'

log/,« + 0 = log( ^^. j "' .K '

a\anl ainsi

/--o-fi':'^)'"-'..-"',

ICxpression asjmplolique cherchée est

2(— 1)'" /4/;?K\"' , fïW

puis, pUis simplemenl,

i.2...v./n VkK'/ V i"^

t('m|)laçant 1.2.. .■^. /?« par sa valeur, je trouve enfin

/ e- \"' / K \\niW\x J \ m TT K

\ ous vojez que c'est assez simple, et surtout la racine />i"™*,

qui est, à fort peu près, - — p-p-y: il me reste à chercher si cette loi ' ^ ^ ' 4 "*I^1^

tie décroissement des coefficients s'accorde avec un théorème que

Poincaré a donné dans le Bullelin de la Société philomathique.

Je ne puis assez, mon cher ami, vous remercier pour ce que vous

m avez appris sur la convergence des fractions continues; j'ignorais

entièrement le théorème de Stern et Seidel qui est excellent el

m'a fait le plus grand plaisir. En comptant que vous continuerez

de me faire connaître ce cjue vous découvrez chaque jour, je vous

renouvelle l'assurance de mon arfection bien sincère et bien

d('\ouée.