STŒLTJES A HERMITE

Toulouse, ij mars i88<).

Cher Monsieur,

Après réflexion, je crois qu'il vaut mieux que mon nom ne soil |)as nommé à l'égard de celle formule

qui esl due, en vérilé, à M. Lipschitz. Cette formule montre de la manière la plus simple que

,. bV,{x — i)

lim = = I pour ar- = ce.

Mais voici une autre formule qui met en évidence plulol la différence R(.r) — ■^T{x + i) ou R(^) — ^Q{^ + ')

> -^ — =z - / u<^ e-" du -{- - a" e-"-

— il fj-«(i/a--i- b'-iC^Y %m ( irarc tang -hu\

Elle se simplifie notablement dans le cas a = o,

(II) >^ £- = yTf^ + i) — 2 / — {buY%\x\[~x — bu\'

Il faut ici supposer loujours ^ >> o ; pour x ^= o, il faut ajouter au second membre - • La formule (I) esl encore exacte pour x = o, et cela explique, jusqu'à un certain poinl, pourquoi, dans (II), il faut ajouler - lorsque a: = o. En effet, en posant dans (l) x = o, le terme

donne - e '', ce qui devient - pour a =; o. Mais si l'on pose d'abord

iUÎO CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

/iz=o^ comme on Ta fait pour oljlciiir (Jl), ce lerme -a^e~"

(lisparail complrlcmenl.

Ne com])lcz-Yoiis pas traiter aussi dans votre Mémoire le cas des développements de

•t, de

sinamx siiia/u-uT

(>es cas semblent intéressants ])arcc qu'on sait, a priori, ([ue lii convergence a lieu tant cpie x reste inférieur à la plus j)etite des <lcux quantités aK et âK.' et il est curieux de voir comment l'analyse opère ce choix entre K et K'. A'ous avez indiqué la solution de celte circonstance, cjui pent paraître dabordun peu singulière, dans voire leLlre à M. Konigsberger [C relie, l. 81, p. 222), mais ne songez-vous point à établir les résultats cpie vous j avez donnés? Les fractions continues que je vous ai communiquées pour les fonctions

a du