K II

\c les donnerai dans le Mémoire que je prépare pour INI. Jordan, J'y considère, en général, la réduction en fraction continue de

cl vous voyez bien qu'elles se rallacbent à celte élude, f{u) étant dans les deux cas

n ,- Tl ,- ' 71 - Tt ;- — V /< v"' V" V"

LKTTUE 17o. 36 I

(il y a encore à changer a en a- el à mulliplier par a). C'est aussi en vertu dun théorème général que je peux affirmer la c.otwergence de la fraction continue obtenue pour

1 . i . a o . 4 . «^ C'est un exemple qui n|)partient au choix

J{u) = a ■' log

ais, naturellement, on ne peut pas attendre que la loi des coellicients de la fonction continue soit toujours simple. C'est précisément en cherchant de tels exemples que j'ai trouvé ces résultats, .le remarque que la seconde fraction continue peut s'écrire

cl comme la série

est divergente, elle est convergente tant que a >> o, la restriction a^\ serait inutile, il en est de même pour la première fraction continue.

Mais vous vojez bien aussi que cette transformation

(( a^ a'" a' cû a'' ' ' ' ' i-

et

donne implicitement une nouvelle manière de définir ces nombres I, I, 5,61, ... et I, '2, if), 2^2, ... (nombres de BernouUi).

Aussi, l'étahlisscment de ces formules exige de nouvelles recherches sur les nombres de Bernoulli qui me paraissent essenliellemenl distinctes de tout ce qu'on a fait jusqu'à présent làdessus. Mais je suis occupé à simplifier mon analyse qui est encore (pielque peu informe, et je chercherai aussi s'il n'y a pas de rapport avec les recherches antérieures sur ce sujet. La relation découverte par Seidel il y a quelques années ne paraît pas être liée à la réduction en fraction continue, mais j'ai lu cpie M. Stem a généralisé les relations de Seidel, et il j a encore d'autres travaux là-dessus dont je dois prendre connaissance.

D'après les valeurs des fractions continues, on doit avoir

ifi

( rt -i- 1 )■ ( « -4- I j!*

ce qui fournit le moyen d'exprimer les nomjjres eulériens i, i, 5, (il, i385, ... par les nombres i, 2, iG, 2-2, ... (nombres de Bernoulli, coefficients de la tangente) ou réciproquement. J'emploie tous mes loisirs à travailler à mon Mémoire pour M. Jordan cl j'espère que dans quelques semaines je pourrai le lui remettre. Veuillez bien agréer, cher monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouement.