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Paris, 18 mars 1889.

Mojv CHKK Ami,

Permettez-moi de recourir à votre bonne obligeance et vous

prier de m'indiquer quelle est, dans le Mémoire de M. Lipschitz,

la relation qui revient à celle que vous avez vous-même trouvée :

— ^ = 1-1-..., afin (lue le puisse laire une citation bien

précise. Et puis, j)our M. Lerch, dont le Mémoire traite le même

sujet, a-t-il obtenu également le même résultat? M. Lipschitz

doit faire une revendication de priorité, toute bienveillante,

M. Lerch n'a j)as eu connaissance de son travail, s'étant confié à

lin Mémoire de M. Hurtvvilz sur une question analogue el clans lequel les recherches de M. Lipschitz ne se trouvent point menlionnées.

J'ai besoin de réfléchir sur vos équations (I) et (11) pour en bien comprendre la signification; comme vous avez (h'i battre l'estrade de tous côtés pour rencontrer cette formule!

J'avais songé de moi-même à ces nouveaux points de vue pour l'étude des nombres de Bernoulli et d'Euler, auquel vous vous trouvez amené; tout cela rendra extrêmement intéressant votre prochain Mémoire sur les fractions continues, que j'étudierai avec soin, vous pouvez y compter. Mais, en ce moment, je suis dans le chagrin d'une grande déception au sujet de la méthode de Laplace. En posant

elle donne, de la manière la plus facile et la plus simple, les valeurs asjmptotiques

/ ^"^ \"\ / ^^^ d'où Ton tire, en supposant m très grand,

^^"'- 4mKK''

"\/^ni = "VKi'f

Ces deux fonctions conduisent donc au même résultat j)our la loi de décroissement des coefficients que l'exponentielle

puisque

C,n = = i ' (i OU }/L.,n = — •

Mais, à regard des fonctions semblables.

364 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DH STIELTJKS.

les nouveaux coefficienls A,,u et \'iii„t sont représentés par des séries à termes de signes alternatifs; ainsi on a, en désignant para les nombres impairs et par b les nombres j)airs,

ilï

Or, la similitude d'expression des deux termes généraux b'-"' q^' et a-™ q"' a pour effet qu'on obtient la même valeur asymptoticpie |)0ur la ])remière série et pour la seconde. Par conséquent, J-v» a une loi de décroisseinent plus rapide que A,„ et qu'on ne peul obtenir par la métliode de Laplace qui ne donne qu'une première approximation. Cette imperfection a bien été reconnue par Laplace lui-même, dans la Mécanique céleste; il se tire d'affaire avec une audace dangereuse dans le cas qu'il traite, mais, pour le mien, tout m'écbappe et me manque, même l'audace. Quel dommage! la relation

montre, comme vous voyez, que la loi de décroissement, pour le carré 0-(.r), peut se conclure de ce qui concerne 0|(.r), mais je dois renoncer faute de moyens, faute de ressources, à toute tentative pour parvenir à 0(^) lui-même.

Je vous renouvelle l'assurance de mon affection bien dévouée.