STIELTJES /l HERMITE
Toulouse, ig mars 1889.
CuKR AloNSIEUIl,
Vous avez eu la grande bonté de me demander dernièrement de détacher, du travail dont je m'occupe actuellement, une Note pour les Comptes rendus.
J'espère que vous ne désapprouverez |)as si, au lieu de cette question du terme complémentaire d'un certain développement en fraction continue, j'ai choisi un autre morceau traitant des dérivées de séc.r et de tang.2\
LKTTRE 177.
C'est parce que peut-èlre ([iielques géomèlx'es, en lisant inaNole, trouveront plus de plaisir à cherclier une démonstration des relations tpie j'ai trouvées, qu'à lire plus tard celte démonstration dans \e Journal de M. Jordan. Suivant moi, cette démonstration est assez difficile à trouver.
Je vais indiquer comment les théorèmes sur les dérivées de sécr et de tangx permettent d'établir mes fractions continues. I'2n général, lorsqu'on pose
les/>, q s expriment ainsi
Pn
Ao ^ Bo = I ,
rt„i a II
\ <l\ Cl
(tn (hi+\
En supposant donc que les ((/ soient les coefficients du développement
.^^ \..>...An
ou du développemenl
pp(
langa" =
la difficulté se réduit à calculer les déterminants A„, B,j. Mais ce sont les déterminants des formes quadratiques
^ 2«/+/,X/X/,, 2 ^«,>/,4-iX/X/,,
366 CORRESPONDANCE d'hERMITE Kl 1)K STIELTJES.
el les valeurs des déterminants découleiil iininédlalemenl des décompositions en carrés.
Ainsi, dans le premier cas,
A„= (ao^ic.. .Y-=[o\-i\ \\...i-in — %)\Y, \^„=.{a^b^c■,...f=[^\V.^3\...{■xn- y)\\\
Dans le second cas, on obtient de la même façon
= {ill — i)\ {■ni)\
X x'^ x^ or' ■ " I . •>.
•le crois que l'étude des dénominateurs des réduites de ces fractions continues ne doit pas être négligée, mais, dans mon Mémoire, ces fractions continues ne figurent qu'à litre d'exemples de la théorie générale, et cette étude particnlicre urentrainerait trop loin et y serait peu à sa place.
Je ne sais, monsieur, comment je dois nous lemercier et
m'excuser de la peine que je vous cause; crojez bien à mou dévoùmenl sincère (').
«u = I, f = %(^cr[\\,
«1=1, /" = sécj-[ I -4- •>. i |,
«2 — 5, /'*' = séca"[5 -h i.%z + i i -■-],
«3= 61, /'*'= séca"[Gi -H 662 j 4- I j'20c2h- -%oz'^]^
</6= 27 702 765, /' = séca" lang.r[i],
''" — '99 -^60 981, /'') = séca" tanga^[5 -t- Gs J,
«8 = 19 391 5i 2 145, /'^* =: sécar tanga7[6n- 180- -4- I20.3- ],
, /'"' = sécj:- tanga:'[ I 38 J -H 7 '^66 -3 + 10 920 -s^ -H- 5 oio^'' J,
«B = 6i2-l- 662^ + 1 320--f- 7202, coef. de /'''^
rt«= 3.1383 -+-28.2^568 + 24.83 664, coef. de /(^) et de /'»',
«6 = 61.1 385 -H 180.7 266 -4- [20. 10 920, coef. de /(^' et de /''',
a-i = i 385^+ 7 2662-f- 10 9202-4- 5 040^, coef. de /'"^
«0=1, f = tanga'[i],
«1 = 2, cp" = tang3'[2 -4- 2c],
«2 = 16, ^'.4'= langa"[ 16 -4- 4o- + 24-3-J,
«3= 272, cp(6'= tangj-[272 -T- I 232 3 -4- I 68052-4- 720 ^•■'J,
a^— 7936, '^(8)= iang:f[7 936-1- 36 0205-1-129 024 32-f-i'2o 9603-^-1-40 )2o.
rtj = 353 792,
«7=1903757312, cp'" = '2 -i- 85 -(- 632,
(.' ) Note des éditeurs. — La Note jointe à cette lettre a été coinimiiiiquôe à rAcadémie dans la séance du 25 mars 1889 {Comptes rendus, t. CVIH, p. 605-607).
Les valeurs numériques des coefficients des /W et cpW de cette Note n'ont pu trouver place dans les Comptes rendus. Nous pensons utile de les reproduire à la suite de celte lettre. Elks faisaient partie de la première rédaction de la Note en question [voir lettre 179).
.)G8 COKRESPONDANCE ij'lIK IIMITF. Kl' DK SlIKLUliS.
«i = i . 16--+- 3. 4<)--!- j.u4-, cocf. ileip'*'.
rt^ = \ .>..i~i -h i.i. l'i.'ii, cocf. de tp'-'el de ç."'
«4= >..8.i3r)-4- i.G.vi'io, coef. decs^î'eldeti'''
m = •>.. I jG--t- 4 .240- -T- (j. 120'-, coef. «le ç»'*',
f(j— 1.7 9U)- H- ') . J6 3-20'' -T- J . ( '29 o '. I - -f- 7 . I .to i)()()^ H- 9 . '|0 j->o-, coef. de 'i'*',
(7; — '..3 9G8--(- 4 !■'- 0962 -r- G . I î 44<>"' "!- 8 . J O jo- , coef. do»'"',
n- ^ \ .■>.- 1~ 93G4-3.I ■232. )G 3204- J. i G8o. 12g 024 -1-7. 7 2»). l'.o 9G0, coef. de o'^'et de 'i'**'
