partie réelle

(si mes notes sont exactes). J'avoue (pie cette condition relative à .ç m'euibarrasse et me semble superllue, la supposition

•^" =/> -t- qi (y > o)

assurant déjà la convergence, quel (jue soit s. Aussi, pour retrouver votre H (./'), je prendrai s négatif

( )i\ les équations ('() et (5) de M. Lercli sont

(l) t>i{w,x, s) = e~^'^'V{i — s)--^.K(n',x,s) (p. -iij,

yg—2nniw f V TT^ (p. '^a).

Donc, substituant

■r-^ g—iiiniw

Appliquant ceci au premier membre de (o), on obtient

. / ai \ ^ —inr.ij

— \{x)e \ ît/ X , — ,

ou bien, à cause de

{-ly

— i mil T

^^ ( b — ■>. n iz i )■'

en égalant ceci au second membre de (o)

ce ([ui est la formule (^).

Je partage votre chagrin de ce que la valeur asvuiplotique de clv« dans

se dérobe, tandis que celle de A/„ dans

ei(x) = i:(— i)"'A,„.r2'«

s'obllent sans diflicullé. <Ao„i étant la dificrence de deux quantités dont \„i est la sonnne, et vu le degré d'approximation que donne ordinairement la mélbode de Laplace, je crois qu'il est probable

(pie le rap])ort al),„ '. A,^, sera de l'ordre — ou, enfin, d'une puissance

négative de m a exposant fini, en sorte f|ue le rapport \/^X,,n à s/ h. m est sensiblement = i .

lime semble peu probable, en eflt't, qu'il y ait une compensation plus complète dans les deux parties de A,,n. Cependant, il faut avouer que cela n'est qu'une conjecture toujours incertaine, et si j'avais un peu plus de loisir, je serais beaucoup tenté de consacrer ([uelques efforts pour trouver la vraie valeur asjmptotique de A^m- Mais ce sera difficile, je crois, et, pour moi, il est absolument inutile de m'occuper d'une question de ce genre si je n'ai pas le temps nécessaire. Je ne réussis qu'en revenant toujours à la charge et avec la volonté ferme de parvenir au but.

Je me suis aperçu que mes résultats relatifs aux dérivées de

séc^ et de tangj? s'appliquent presque sans changement aux

dérivées de

sinani.r, cosamx, Aamj"

Je considérerai seulement

f = cosain j?

et je pose On trouve

z = k sinam^j".

/ =cnr[i],

f ^= snx du j- \ — I J,

/" =cna''[— 1^ ■>./.;• I,

f" = sna" dn^'[i 4- 4 /i^ — 6A5],

/(i' = en :?• [ I + 4 k'- — { io k 4- 8 k-^ ) z -f- i ', k'-z- J ,

/'ï> = sna- ilii j[— I — 44/'^''-— i(J/t*+ (60 A- -+- \iok^ )z — iwk-z-],

/^6' = c n if [ — 1 — 44 A-2 + 1 6 k'*

-+- (i8>.A-H 448A-i-t- 3>.k- )z — (840/:-+ 48o/cV)---f- T^oA^^'l,

si je considère d'abord les dérivées d'ordre pair

f =cnjr[i] = cnx[a^)],

f" = cnj[ — i-{-ik:\, = cnx[ — ai-\- bi z\,

y*(4)=cii, — cnx[-h rti — 6o3-(-C2--|,

/(6) — CI1J7[ «3-4- 63^ -+- C352 cl-iZ'' ],

372 CORRESPONDANCE d'iIKKMHK 11 IIK STIELTJES.

j'ai

ot

en J- = «0 ^ -■ :; — 7 ^"

2^] «/+/.X,-\/, = (.-/oXy^- a,X,-t- <72X2--...)2

.-(6,Xi-- 62X2--...)*

iil)soliiinenl coniine dans le cas de sécj'-. De même pour les déi-i\ées «l'ordre im|>aii'. Ainsi, par exemple,

,r. = (1 -+- Wk"-^ i()/.'» )-^-+- (Go/ -f- i',o/c-*y^4- (120 A-2/,

ou si je pose, pour simplifier, 2/,= /,

«5 = ( 1 -i- r I /- -1- /'m- 4- ( jo / -h I j /^ )- + ( 3o /- )- ,

«s = i -i- 9ii ^"^ -t- I 9'.') /* + ■>.!\~ /^-^ /",

«,;= I H- 8 3o3/--i- >i 4ii^'*+ ■>! o^o/'> + 1013 /•*-!- /'«.

Ce sonl exaeteinenl les Naleurs ilonnées par Briot el Bourpiii (p. /\(h) cl qu'ils ont obtenues à l'aide de votre belle méthode. l*our A =z \ ^ on relondje sur mes premières formules qu'il ('tail bien nécessaire de découvrir d'abord. Et \oi<'i maintenant coimnc ni ma première fracli(jn continue se dédouble

/cos ani c t'-'"- dz =

A am - c'~' ~ dz =

■'^ 3ÏÏ

c'esl-à-dire

cosanic = «o — — I . ■>.

Aani ;; —ht,

.le n ai pas encore considère sinam.r, mais je vois Jjien que ce cas exige une légère modificalion. Aussi, je n'ai pas encore réduil les intégrales

Ji cosam zc~'^ (/:•. j A y 0 *^ 0

à la ibriiie

imze^-^^ dz

ce qui est très essentiel jjour moi. INIais tout cela va me donner encore beaucoup de travail. En eOel, j'étais assez satisfait de la démonstration de mes théorèmes sur les dérivées de séc^ et de tangx. Mais, si je voulais tenter une pareille démonstration pour dix, dna", la chose serait bien possible, mais cependant très pénible. Or, ces relations me semblent si simples que je ne peux douter qu'elles ne soient l'expression de quelque fait analytique également simple. Il faudra trouver cela.

Sachant que vous prenez intérêt à la loi des coefficients (7/, h, dans les développements des fonctions elliptiques, j'ai cru pouvoir vous communiquer ces résultats. Vous voyez que, dans mes recherches, je me suis rapproché maintenant du sujet qui vous occupe actuellement, les valeurs asymptotiques des coefficients.

Va\ vous remerciant, cher Monsieur, des bonnes paroles de la lin

(le votre lellre, je peux vous assurer que je lâcherai d'être toujours (ligne de l'intérêt que vous voulez bien montrer pour votre dévoué.