HERMITE A STIELTJES

Mojv CHER Ami,

Combien vous êtes bon et complaisanl de m'avoir fait profiter si complètement de l'étude attentive que vous avez faite des Mémoires de M. Lipschitz el de M. Lerch ; le premier étant écrit en allemand, je n'aurais pu parvenir à j voir ce que ^ous avez bien voulu m'expliquer avec la plus entière el la plus complète clarté.

J'ai été enchanté des belles formules que vous m'avez envoyées T)our les Comptes rendus; voire article sera présenté à la prochaine séance de l'Académie et j'espère bien que M. Bertrand ne fera point difficulté pour son insertion. La commission du budget a rogné de loooo^', je crois, lallocation accordée à l'impression des Comptes rendus, cjui s'élevait à la somme importanlc de 80 ooG*^"".

Vos expressions des dérivées successives de cn.r et les fractions continues que vous avez découvertes pour les intégrales

me ravissent; à coup sûr, personne au monde analytique n'a jamais CM \olre idée si heureuse, si ingénieuse de la décomposition en carrés de vos formes quadratiques à un nombre infini de variables. Verriez-vous inconvénient à ce que je mette ces résultats, vraiment surprenants, sous les yeux de M. Darboux avec qui je m'entretiens de vos intérêts? C'est ordinairement le lundi que j'ai occasion de le \oir et de causer amicalement avec lui dans le cabinet de M. Bertrand, qui, je saisis l'occasion de vous le dire, partage entièrement nos sentiments à votre égard.

Soient F(.r) un polynôme de degré n (pii n"a point de racines réelles, et ^{x) un polynôme arbitraire de degré n — 2; je vous |)ropose comme exercice pour vos élèves à la Faculté de démontrer

LETTItE 180. 37.5

que l'inlégralc

J=/ î^cLr

{xj est un invariani simullanc des formes

v"F( — ) et v"-2G,

Celle minime queslion vous monlre que j'ai repris mes leçons à la Sorbonne; je me propose celle année de donner la mélliode de I^aplace pour la convergence des séries qui représenlenl les cooi'données elliptiques, avec quelques petites simplifications dont vous m'avez suggéré la principale. Vous m'avez fait remarquei' que la série proposée étanl Sm„, si Laplace pose la condition U/i= Un^t, c'est uniquement parce que, dans son cas, Téqualion est plus simple que D,iU,j^= o qui est la vraie au fond.

Étant ainsi fixé par vous, je raisonne en employant la dérivée, après avoir préalablement formé l'expression asymplotique de i/,,; on abrège de cette manière les calculs, et la métliode prend une apparence plus régulière.

Quelle désolation, quelle humiliation lamentable de ne pouvoir moindre sur S(x) et H(a?) qui sont si voisins de S,[x) et H,(j,-)!

Avec mes plus vives félicitations, mon cher ami, pour vos nouvelles découvertes et l'assurance de mon afFection dévouée (').