riERMITE A STIELTJES

Paris, 32 mars 1S8;).

Cher Awi,

Je vais risquer une lentalive bien hasardeuse pour avoir la valeur asymptotique des coefficients de 0(jc) et de H(x), voici mon point de départ.

La méthode de Laplace pour obtenir la valeur approchée de la série

dont les termes vont dabord en augmentant juscpi'à im maximum |)0ur décroître ensuite indéfiniment, a été appliquée par lui au cas où la fonction y(«) se compose d'un produit de facteurs élevés à de grandes puissances, et c'est ce qui arrive dans les exemples que j'ai traités. Remplaçons l'entier îi par une variable x^ l'analyse de Laplace revient simplement à prendre pour valeur approchée de S

l'intégrale / f[x)dx^ et à déterminer cette intégrale par la

méthode donnée dans la théorie des probabilités. La fonction f{x) étant supposée nulle pour ^ = o, x ^ ce et avoir un maximum unique pour .r = ^, on pose

378 CORRESPONDANCE d'hERMITF. ET DE STIELT.TES.

de sorte que la nouvelle variable / ci-oil rie — oc à + ce. Dans le cas où f{x) esL de la forme [F(:r)]", la ^alellr de dx s'oblienl sous forme d'une série en i, et contenant les puissances successives de -—5 ce qui permet (ralLeiiidre une ap|iroximation cpii y a

augmente quand n croit. En négligeant -—■> on trouve la formule

yZ/i

C'est de là simplement que se tire l'application si importante à la convergence des séries qui représentent les coordonnées elliptiques et aussi toutes mes applications. Vous direz que mon audace ne connaît pas de bornes, et je ne \ous contredirai certainement point, mais, plutôt que de ne rien fiiire. je me propose, en parlant de l'expression