STIELTJES A IIERMITE
Toiilonse, 2,3 mars 1889.
Cher Monsieur,
Je veux répondre par quehjues mots à votre lettre. Probablement, vous avez vu aussi qu'il n'est (pas) besoin d'aucun calcul prolixe pour évaluer les intégrales
/ (2.r-i- r)2'"^(2'' + ir fl^x = <2"'-' / y"'~^e~'*"y (/y
q = e-", dont la différence est, par conséquent,
•î-'«-i / y '^e-'"'.ydy,
cela donnerait donc une destruction bien complète dans la différence
v^-2,H^«î Zb'-"'q''\
mais il paraît bien difficile de dire si l'on peut s'y fier. Cependanl, après y avoir regardé de plus près, je retire formellement l'opinion émise précédemment que la destruction des termes dans la différence se bornei^ait aux termes principaux et, par conséquent,
-T — décroîtrait comme — ou — j-
J'admets maintenant comme probable un conlrebalancement des termes d'une manière plus complète, quoique j'iiésite cepen-
38o CORRESPONDANCE d'iIERMITE KT DE STIEI.TJES.
(lïinl il iulmollrc le résultai
Pour savoir avec quelle approxiinalion ou peul poser avec vou?
• Il
il semble naturel, en posant
(le recourir à la formule dEuler
-/ f{x)dx—-J, !/(/., ~J\a)\
(b ^ a -^ nh),
m |)renant n r=yD^ b = yz. a =: o, h = \ .
Vous vojez que f{h), f'{b). /'"\^^) s'annulent, de même que
Or, j'ai remarqué, dans mainte occasion, que si cela arrive el (pie l'équation d'Euler semblerait ainsi donner régalilé complète • •nire la série et l'intégrale, la vraie différence décroit très rapidedement. Comme exemples, je citerai ici le cas de votre fonclioii lv(x), la relation
A - H- e~'''- -h- e-'-''i'- -+- e-^'-*'"- -t- . . . = ^tJ-- -h e~^+ e ^^-i-. . . ], et il y en a encore quelc{ues autres, dont voici la plus simple
LKTTRE 18*2.
in
c;"esl-à-dir«^, pour /"(j?) == — -,
dx
pour dz :>o, f{x) s'annule avec toutes ses dérivées.
Admettons donc qu'on a d'une nianit^-re très approchée, en ellel,
Zd'-'" </"'■= j (•',?■)- '"(7 ''•'■' rf.r.
En |)renant
f{.r) = (■AJ.--+- ()■-!'" ,yl2'+ 11',
la formule dEulci' donnera
X ly^"> II'''- — I /■( .r ) ,/.r -^ ^q^.,.,
mais les termes suivants, avec /' (u), /*"'(o), ..., renferment des puissances positives de plus en plus élevées de m, et le degré d'apj)roxiniation nous échappe conij)lètement.
Je crois que, pour avoir une sohition rigoureuse de la question, il faudra trouver des transformations analytiques, mais cela nr sera pas aisé du tout. On ne sait même pas si r.\o,„ est toujours positif; il s<' pourrait bien (pie la vraie valeur a[)prochée renferme un terme périodique (pii change désigne comme dans la diflérence
Je crois (pie l'a|)plication aux séries doubles
i2 J\ III . n )
((ue V(jus |»i'op()sez, donnera des n'-sultats exacts et est légiliiiic.
382 COIIRESPONDANCE D IlERMITE ET DE STIELTJES.
J'ai [)lusleurs fois évalué des intégrales doubles d'après la méthode de Laplace et avec un succès complet.
Votre bien sincèrement dévoué.
