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Elle n'est pas difficile à démontrer, mais je doute qu'elle fournisse l'expression définitive de la fonction de liiemann; en tout cas, elle est utile, l'auteur en ajant tiré les valeurs numériques des premiers coefficients Cv, résultat auquel j'attaclie beaucoup de prix. Permettez-moi, lorsque l'occasion s'en présentera pour vous, de vous demander de m'indiquer, au point de vue de l'Arithmétique, la conclusion du Travail de Riemann, qui est en allemand et que je n'ai pu lire. Mais que cela ne vous détourne point de ce que vous faites en ce moment où vous obtenez chaque jour de nouveaux et excellents résultats; il arrivera certainement que vous vous sentirez recherché par l'Arithmétique et naturellement vous reviendrez à la fonction s('^)'

En attendant, mon cher ami, la liste de vos publications, je vous renouvelle l'assurance de mon affectueux attachement.

186 — STIELTJES A HERMITE .

Toutoiise, 39 mars 1S89.

Cher Monsieuii,

La formide de Dirichlet se trouve dans son Mémoire fondamental Sur la convergence des séries trigonométriques, dans le Tome 4

du Journal de Crelle. M. Lipschilz obtient aussi de celte manière sa transformation et j'emprunte à lui cette citation, que je ne peux vériiier (les trente premiers volumes du Journal de Crelle ne se trouvent pas dans notre bibliothèque), mais je n'ai pas le moindre doute quant à son exactitude. Quant aux séries 0 à deux \ariables et les expressions

n'ja-t-il point de votre part une légère inadvertance? 11 me semble que F(x, 1) ne passe que par un seul maximum, pour les valeurs positives de x et y, bien entendu. C'est probablement à cette dernière condition que vous n'avez pas eu égard.

Je considère, pour j? >> o, y >> o, s >> o, la fonction

où ax'--\-. . .= '^ est une forme définie positive.

11 est clair qu'il j a, au moins, un maximum; il me semble qu'on peut établir ainsi qu'il suit qu'il n'y en a qu un seul.

Les conditions du maximum ou minimum sont

■i ây ° y

— logF — - — bix — a^y — cz =0.

Ce système, nous le savons, admet au moins une solution (en vo^- \e\\vs positives toujours). Mais, s'il en admet plusieurs, il est clair <pie ces solutions répondront toujours à de véritables maxitna, car la forme quatiratique

se réduit à

cp(X,Y, Z)— — X'- ^ Y2- Xz2.

Vdmettons, pour un moment, (|u'en dehors de la solution

X ^ xo, y — yo-, -s = 5«, F = Mu,

Sgo coRRESPONDAKCK d'heumite et de stieltjes.

Mo élant le inaxiiniun absolu, il y en ait une

X = Xi,

y = yu

où M| -< Mo esl un second maximum.

Considérons les surfaces

¥ {X, y, z) = const.,

ou plutôt la partie de l'espace où F(.r, ;)^, c) ^const. ^ C. Tant que C>Mo, il n'y a pas de partie réelle de la surface. Faisons décroître constamment C. Pour C = Mo, nous avons un point isolé X ^= Xq, y ^ y^j, c = Co. Pour C = Mo — A, la surface est fermée et enveloppe le point Mq. A mesure que C décroît ainsi, la partie de l'espace où F >> C s'étend ainsi.

Lorsque C ^ M-i, la surface se compose :

i" D'une surface fermée enveloppant Mo;

2 D'un ])oint isolé ^\^[x^J )^i, :;i ) en dehors de la surface fermée.

C décroissant toujours, le point M, aussi se trouvera enfermé dans une nouvelle surface fermée et, C continuant à décroître, les deux parties séparées de l'espace où F^G vont nécessairement s'unir en un point P. 11 est clair que, dans ce point P, point sin-

gulier d'une surface F = const., les écjuations (i) sont satisfaites. Mais, de plus, ce point P n'est pas un maximum, car, en se déplaçant d'un côté ou de l'autre, on peut faire croître ou décroître F. Mais, comme nous avons \u que tout point satisfaisant à (i) esl nécessairement un maximum, il j a ici contradiction, l'hypothèse d'un second maximum est inadmissible. Donc, à moins qu'il n'y ait un \ice caché dans ce raisonnement (et j'avoue que je ne le vois pas), on peut affirmer que la Ibnction F n'admet qu'un seul maximum pour les valeurs positives des >ariables, et le même raisonnement s'applique à un plus grand nombre de variables. L'on se

trouve bien dans les conditions nécessaires pour l'application de la méthode de Laplace.

Il me semble que le raisonnement précédent est exact; cependant, je ne suis pas tout à fait sûr et j'espère que vous me ferez part de vos objections, si vous en avez. . ., l'opinion de M. Picard me serait aussi très précieuse.

J'espère pouvoir vous envoyer dans quelques jours la liste demandée; si je n'ai pas voulu remettre jusque-là à vous répondre, c'est à cause de ce que vous m'aviez demandé concernant la formule de Dirichlet.

Votre sincèrement dévoué.