HERMITE A STIELTJES

Paris, i" avril 1889.

MOK CHEa A-Ml,

J'éprouve bien de la difficulté à suivre les considérations relatives à l'hjperespace, ce sera donc l'avis de Picard et non le mien que vous aurez sur l'idée originale que vous me communiquez pour établir l'existence d'un seul et unique maximum de la fonction

1 1 H. . .— cp(a?, y, ^, . . .),

lorsqu'on suppose un nombre quelconque de variables. Dans le cas de l'espace réel et relatif à trois variables, votre raisonnement, contre lequel je n'élève aucune objection, me semble extrêmement ingénieux, et je ne vois guère comment on pourrait s'en passer à moins de se jeter dans un océan de calculs. Pour le cas des équations

— = ax -i- by. — = bx -{- c y,

je crois préféi^able de joindre à l'ellipse

m ^ Il = aa?^ -+- ibxy -\- cy-, celle-ci qui représente deux droites

an x'^-\- b(n — m) xy — cniy^ = o.

892 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELIJES.

On voit, en etïet, cjiie les droites sont réelles et que les coefficients angulaires sont de signes contraires; par conséquent, l'une d'elles se trouve dans les deux régions où les coordonnées sont de mêmes signes, c'est celle qui donne, par son intersection avec l'ellipse, la solution unique en quantités positives à laquelle correspond le maximum, tandis que l'autre droite se trouve dans les deux angles des coordonnées où elles sont de signes contraires.

Je me suis aperçu trop tard, hier, que l'intégrale

s'obtient immédiatement au moyen du procédé 'élémentaire qui consiste à poser ^::=pcoscp, j^^psincp, l'intégration pouvant s'effectuer immédiatement par rapport à 0. Mais, voici une autre question sur laquelle j'aimerais bien avoir votre avis. C'est une application que je pense donner à mon cours de la formule

dt

A^-H-B 2y/AB

Soient

A=i — 'i.x -\- % \J X'- — I, 8 = 1 — tx — a /•2^- — I,

on aura

AB = I — aaiTM- a2

et de là peut se conclure l'expression de Jacobi des fonctions X^. Soit, d'abord

lang-

on aura

et, par conséquent,

v/i — 2a^-i-a2 / I — a ( ^ -f- \J x- — i cos cp ) Voici maintenant mon raisonnement. Supposons x réel et

moindre ({ue riinité; j'observe que le module de