STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, 3 avril 1889.

Cheiî Mojnsieuk,

Ce n'est pas grand'chose que je peux dire sur votre déduction des intégrales qui représentent X,^, mais, puisque vous j tenez, je ferai de mon mieux.

Il me semble qu'après avoir obtenu

V 1 — 2 a 37 -+- a- J ^ i — a ( x -^ \i x- — i cos cf- j

og6 CORKESPONDANt;E d'iIERMITE ET DE STIELTJES.

il n'esl pas nécessaire de faire aucune supposition concernant la valeur de x et qu'on pourrait raisonner ainsi. Quelle que soit la valeur de x (réelle ou imaginaire), on pourra toujours donner au module de a une valeur tellement petite (ju'on ait constamment

moda(:r -+- ^ x''- — i coscp) < i et alors

^ a"(,r -1- si X- — I cos»)"

I — a(^ -t- \J x''- — I cos^ ) et, par conséquent, (2) X„ = - / i^x ^ \/ x'^ — icos(p)"rfce.

Mais, à l'égard de cette formule (i), il faut remarquer que, à proprement parler, on doit bien indiquer la valeur du radical ambigu \' \ — 2aa;-l-a-. (hiel que soit x, la formule est exacte pour a = o en prenant le radical + 1, et c'est là la raison qu'on obtient (2) sans faire aucune hypothèse relative à x.

Mais supposons x réel et supérieur à i ,