X -i- \J X- — I cos© j
Mais, si nous avons dii supposer ici x' > 1 , cela tient à la circonstance suivante.
LKTIRH 189. 397
SI l'on se place au point de vue le plus général, on a
l'o \a.--^\/x- — I coscp;
et il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que la partie réelle de x est positive ou négative. Dans le cas où la partie réelle de x est nulle, l'intégrale n'a pas de sens. C'est ce que remarque aussi M. Jordan.
Voici comment j'ai cherché à rattacher ce résultat à votre luéthode.
D'abord une remarque sur votre point de départ
dt
J'observe que
est une fonction uniforme (dans un tel cas, il serait peut-être plus précis de dire bien déterminée) admettant la coupure de o à — 00. En posant donc
il faut faire varier /■ de o à h- oo, B de o à ±7:, mais G ne doit jamais franchir ces limites i+i tt. Mais, pour () = o, on a
\fz étant réel et positif. Donc on aura, à cause de la continuité, généralement
a/-|(cos 26-1- f sin-5-6) En somme, dans la formule
l'argument de \j z varie entre ± -■, c'est-à-dii-e la partie réelle de \jz est positi^'e.
098 COKUKSPONDaNCE U'IIERMITE ET UE SIIELTJES.
Ainsi, j'écris
/•" dt
et il tant prendre ici le radical 4 /-r avec nn tel signe (|ue la partie réelle 6oh positive. De même, dans la lormule
-(A-i- Bj — -(Â-Bjcos-^ A»/- ■^ '-^ y/ A
Si, maintenant, je prends avec vous
je vais supposer d'abord j; quelconcpie mais moda assez petit pour (jue B et A soient sensiblement ^i , alors on obtient la formule (i); le radical étant aussi sensiblement i et, de là, la formule (i). Mais il est un peu plus difficile d'obtenir (3) ou mieux (o'j.
Remarques préliminaires. — Les parties réelles de
I p — qi
A = /> -H ql et de
ont même signe.
Donc, les parties réelles de
\^ X — \J X- — i et de ^ = ^ -4- s/ x- — i
ont même signe et ce signe sera aussi celui de la partie réelle de
et encore (en snpjjosant a réel) de
x -H \J X'- — I cosc? = E sin-^ - a» -H t cos- o.
On voit par là que x^sjx'^ — -icos'^ ne peut s'annuler (pie lorsque x est purement imaginaire.
Cela étant, je reviens aux formules (4) et (5). Je suppose x quelconque, seulement pas sur l'axe des Y, de sorte que sa partie réelle ait un signe déterminé qui sera aussi le
signe de la partie réelle de ; et de > • Ensuite, je suppose le module
de a très grand, de sorte qu'on a sensiblement
et ainsi, dans la formule (4), on a sensiblement
et comme il faut prendre le radical tel que la partie réelle soit positive
où il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que la partie réelle de x est positive ou négative. Il en sera de même dans toutes les formules suivantes.
Le second membre de (4) est donc sensiblement
si donc y/i — aax-i-a^ est pris avec un tel signe que ce radical est sensiblement = a (on suppose moda très grand), il vient
I — a(j; -T- y/a?* — • r coscp)
Nous avons remarqué déjà que x -\- \J x'^ — icos'^ ne s'annule pas; en supposant donc moda suffisamment grand, on aura constamment
moda (a? + sj x- — i coscp) > i.
Il est permis alors de développer, suivant les puissances descendantes de a, ..., ce cjui conduit directement à la for-
400 COKRESl'ONDANOi: D HEUMITE ET DE STIELTJES.
nulle (3')
Je vous demande pardon de ces longues et minutieuses considérations dont le fond se trouve aussi dans le Livre de M. Heine; il n j a que de légères différences de forme. Naturellement, on pouirait aussi considérer votre seconde substitution
Si Ton suppose a très petit ([)Our développer ensuite comme vous suivant les puissances croissantes de a), on a sensiblement
(signe -{- ou — , selon le signe de la partie réelle de J?) et le second membre de (4) est sensiblement
donc, si y/i — 'i.a.x + a- est sensiblement ^ -f- i , on a
y/ 1 — i a.r -h a^ / x -\- \,/.r- — i cos cp — a
et développant suivant les puissances croissantes de a (ce qui est permis, puisque ^+ \i x- — i coscp ne s'annule pas), on retrouve (3'). Mais je dois terminer cette longue lettre qui aura déjà mis à l'épreuve votre patience.
Veuillez bien toujours me croire votre bien dévoué.
P. S. — A l'aj)j)ui de la demande que je \ous ai faite dans ma dernière lettre, je ferai observer que vous avez dû corriger les épreuves de bien des Notes que vous avez présentées en mon nom à l'Académie et que ce ne serait que juste si je vous rends un service analogue.
LETTItK 190. 4oi
