lŒRMlTE A STIELTJES

Paris, 4 avril 18S9.

Cher Ami,

Ce n'est pas tout à fait une inadvei^tance mais peut s'en faut; en tout cas, c'est une négligence que de n'avoir pas fait attention que, dans la formule de Laplace,

^ Jq {^ -^ coso ^x-— i)"

le second membre doit être pris tantôt avec le signe +, comme je l'écris, et tantôt avec le signe — , ce dont Laplace s'est, je crois, peu inquiété. La méthode tirée de la considération de l'intégrale

définie

dt T.

At^^B .^^AB

me seml)le rendre bien compte de cette circonstance. Revenant, en effet, à l'expression plus générale

df

Gf^-h 2Ht-^K

où G, H, K sont des constantes réelles ou imaginaires et représentons les racines du dénominateur par

— H -^ ?■ v/GK— H2 — H — i v/GK — H2

Si l'on admet que dans ^o le coefficient de / soit positif, on a la valeur

" A ( Zo — 2l ) ~ y/GK — H2 '

tandis qu'il faut prendre

v/GK - H^

si le coefficient de / dans cette même quantité est négatif. C'est, en effet, la conséquence de l'expression générale de l'intégrale

4o2 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

/ f{L)dt par a^Ttï, où S est la somme des résidus de /(^)

pour les seuls pôles qui soient au-dessus de Taxe des abscisses. En appliquant cette règle au cas particulier de

dt

v/AB

où A = J7 — a — \Jx- — I , B = ^ — an- \Jx- — I : vous vojez qu'il faut prendre, dans le second membre, le signe + ou le signe — y suivant que le coefficient de i dans

v/i — aa;

X — a — ^x- — [ est positif ou négatif, ou encore suivant que la partie réelle de

I — aa^- -V a-'

est positive ou négative.

Cela posé, j'envisage le cas de a infiniment petit, puisque je

dois faire le développement, suivant les puissances croissantes

de a, de

X -\- cos cf \/x- — I — a Il suffit alors de considérer la partie réelle de

encore de ^ + \/x- — i . Soit donc