STIELTJES A HE R MITE

Toulouse, 5 avril 1889.

Cher Monsikuii,

Je ne peux assez vous exprimer le plaisir (jue vous me faites en acceptant mon ofl're de vous aider à la correction des épreuves d'une seconde édition de votre Cours, et je ne pourrai m'occuper plus utilement pendant les vacances, car les terribles chaleurs, à Toulouse, ne permettent point un travail un peu difficile.

C'est vous qui m'avez appris quelque chose sur les intégrales X„ ; sachant ce qu'a fait là-dessus M. Heine, je n'ai pas pensé à faire mieux; votre méthode à lever l'ambiguïté du radical dans la formule / — — 5- me semble bien préférable. La seule chose dans

ma lettre qui pourra vous avoir été agréable c'est la méthode simple (de M. Heine) de reconnaître que les parties réelles de

ont toujours même signe et s'évanouissent simultanément.

4o4 CORUKSl'O.NDANCE d'iIKHMITK li I 1»F, STII;I.T.IKS.

A vrai dire, je ne sais pas si ee (juc jc nous ai écril sur I iiili'^i'alt'

fil e-'\d.Tdy

ch

a été rédigé avec assez de soin pour être iiiipiinié. Si vous erovez qu'il soit préférable cpie je rf^lasse une nouNclle i'(''daelioii, je suis lout disposé à la faire.

L'expression du reste de la formule de Stirliiii; de .M. Sonine est bien |olie. Il y a (pielque temps, |"ai trouvé une (b'monsli ation (pour ainsi due synthétique) de la lonnule

iog Y(a)=^ya j loii a — r/ h — log( >.-) -^ M a )

qui me semble assez curieuse, étant fondée sur votre notion de coupure d'une intégrale définie et votre formule poui- la dilïérence des valeurs d'une intégrale définie aux deux bords de la coupure. Mais, comme cela se rapproche un peu des recherches de M. Bourguet, je ne veux pas publier avant lui.... Aussi, la détermination de la constante - log( y — ) <pii figure dans la formule s'obtient plii> royalement dans ma méthode (pie dordinaire.

Ayant rédigé à peu près cela et sachant que vous donnez dans votre cours la théorie de la fonction I', je vous oflVe ce que j'avais écrit là-dessus, ce qui, bien entendu, ne vous oblige nullement à le lire ni à me le renvoyer; vous |»ourrez détruire ce manuscrit, car je ne songe nullement à le publier.

Je suis toujours entièrement abîmé dans mes fractions continues.

TNIais ne faudrait-il pas publier en même temps dans le Bullclln votre premier calcul de

/ / e- '"'"-+-'">+ ''y'-' dx dj

par un développement en série. C'est là une méthode, peut-être moins simple que de poser .r=pcos9, -)'=osinO, comme vous lavez remarcpié. . ., mais elle |)Ourrait bien s'appliquer à d'autres cas.... (i'est ce (pie je dois laisser à votre jugement. Je joins seulement la lettre cpii contient votre calcul.

En NOUS renouvelant, Monsieur, l'expression de ma \i\egrati-

MaiRiî 19*2. 4o5

tilde |»oiir avoir bien voulu ac<'epler mon oiFre, je suis loiijoiu^s \oUe 1res tlé\oiié.