STIELTJES A HERMITE
Toulouse, i5 avril 188).
Cher Monsieur,
Je vais vous présenter quelques remarques très élémentaires : c'est votre grande bonté qui me fait espérer que vous les accueillerez avec indulgence.
Il y a quelques mois, vous m'avez fait remarquer que le coefficient du binôme (m)« est divisible par ^j d étant le plus grand commun diviseur de ni et n. Donc (in)^^ terme constant dans le développement àe (x -{ ) , est un nombre pair. Mais je trouve
que ce nombre est aussi divisible par n -\~ \ . Voici quelques exemples :
C'est ainsi qu'il suit que j'ai été amené à cette remarque. Je
4o8 CORKKSPONDANCE DIlKRMITi: KT DR STIELTJES.
considère la fraclion continiic F= •
Il est clair que la réduite d'ordre n a celte forme
«, b. ...; a\ h', ... étant des entiers. Donc, parla division, on voit que, dans le développement suivant les puissances descendantes de ^
p Aq Al Aj ^ A„
tous les Ki sont des entiers.
Mais
d ou 1 on lire sans peine.
Je n'ai pas cherché une démonstration purement arithmétique. J'ai commencé par dire que {2n),i est pair, mais, pour savoir au juste quelle esl la plus haute puissance de 2 qui divise (2«)„, je calcule les nombres
cl j'ai la règle suivante : Si, parmi les nombres
(dont le dernier est 1 ) il j en a k (pii soient impairs, alors 2* esl la jjlus haute puissance de 2 qui divise [-in),,.
D'après cette règle, si je suppose n = 2* — i, j'aurai
LETTRE 19i. 409
donc, dans ce cas, 2*= /? + i est la plus haute puissance de 2 qui divise (2/i)„, c'est-à-dire le nombre A„ est impair. J'ajoute que tous les autres nombres A„ sont pairs.
En efl'et, d'abord si n est pair, K,, l'est aussi parce que (2/?)„ est toujours pair. Je n'ai donc qu'à considérer le cas où n est impair mais point de la forme •>.'' — i .
Ainsi, on aura
Il = 2'/?? — 1 ,
m étant impair et au moins égal à o. Cela étant, on a
/ir = "1 — I pair et ^2.
Donc, dans la série
/> , n i, rii, . . . ,
il y en a au moins /■ -+- i qui sont impairs, savoir les /• premiers et
le dernier. Donc, si 2^ est la plus haute puissance de 2 qui divise
{0.11)11, on a
s ^ /• -!- I et n -^ \ = -i'' ni ;
donc A,^ est pair.
Voici une curieuse génération des nombres A„. Je forme le Tableau suivant :
4 10 coitKESPONDANCE d'heioiitiî i;t ue siieltjes.
(1 iiprrs la règle suivanle : Soil la colonne verlicale à l'en-tèle
on en déduit
el ajanl
impan-
Vous voyez figurer dans la première ligne horizontale les
LETTKE lO'l . 4' 1
nombres A„, in;iis ce qui est plus cui'ieux le voici : Prenez la somme des carrés des nombres qui se trouvent dans une colonne verticale, on retrouve la série
I, I, '2, j, (4, ^•i■, 13-2, 4'''-9' '43o, 4^fi'>-i '''79*^)
= Ao, A,, Ao, A), Av, Âg. A,-., A7, A», Ag. Aiq.
Mais ce n'est là qu'un cas très particulier d'un autre résultat que j'ai obtenu en considérant ce problème.
Etant donnée une fraction continue
en déduire le développement
J'ai été surpris de voir qu'il restât encore à trouver quelque cbose sur un sujet aussi élémentaire.
On s'assure aisément que A„ est une fonction entière homogène de degré a -\- \ des quantités Co, c,, ..., c„, les coeCficients étant entiers et positifs.
La solution que je propose est renfermée dans les deux théorèmes suivants :
Théorème I. — La forme quadratique
est égale à
Co[aoXo-f-ai X,-4- aa^j-t- «3X3 + . , .]2
-4-CoC,C2[plXiH- ^2X2+ P3X3 + . . .]^
-1- CoCiC2C3C4C5C6[f>.3X3-(-. . .]-
4lC> CORIUCSPONDANCH: U UKUMITK et Dli STIELTJES.
Thkorrme h. — La forme <iu(i<li(iti(/i(e
est en; air à
y yA,+,.„x,x^
Co Cl [ Ko Xo -h a, X, H- 70 X., + '7,3 X3 + . . . ]2
-^ '"0CiC,C3[p,XiH- ^2X2+ P3X3-+-...]2
+ CoCiC2C3C4C5[Y2X2+ Y3X3-+-. . .^
Les coefficients
Pi, P2, i^a,
(qui ne sont pas les mêmes dans les deux théorèmes) peuvent être considérés comme connus, on les calcule à l'aide de relations récurrentes d'une grande simplicité.
En effet, si je forme le Tableau suivant :
fi
CiH-C,
cf+C,C2
Cf -+- C| -t- -2 C, Co-f- Co C3
C\ -+r IC'l Ci-h CiC| + C1C2C3
Ci-\- C2-+- C3-I- Ci
Cf-i- C|-|- 3 Cl C2-I- '2 C2 C3+ C|-i- C3 c,.
Ci-h C2-H Cs-i- Ci-i- C5
LETTRE 19i.
d'après la loi sui\ante :
et de
on (Icduil
Il -f- I
ini|)Rii
on déduit
Cl a
CâT + P
4l4 CORIlKSr>ONDANCK TJ HEUMITE KT DE STIELTJHS.
Cela élanl, si j'écris y part les colonnes de rangs pair et
ao
as
ri
2tO
j'ai, dans le premier cas, les coefficients cpii figurent dans le théorème I, dans le second cas, les coefficients qui figurent dans le théorème II.
Si, dans les deux théorèmes, je ne considère que les termes avec les carrés des variables, j'aurai
Ao = c'o, Al = CqCi,
A2 = CoCf -+- CqCi Ci,
A3 = Co Cl ( Cl -h Co )■- -+- Cu Cl Co C3
A', = Co(c| -H CiCo)--!- CoCiC2(Ci -h Co-h €3)^-^ CqCi CjCsCj,
A5= Co Cl (Cf -h C|-r- 2 Cl C2 -h CaCa)^
-f- Co Cl C2 C3 ( Cl + C2 -1- C3 -T- Ci )2 } Cq Cl C2 C3 C,v C5.
Vous vojez que si l'on a poussé le Tableau (T) jus(pi à la colonne n on peut écrire immédialemcul les valeurs de Ao, Al , . . ., A,,.
IVJais vous vojez bien uuunlenanl couiment mes recherches sur les fractions continues m'ont amené, de la manièi'e la plus nutu-
LETTKE 193. 4l3
relie, à considérer ces nombres A^^ = (2/1),/ dont j'ai voulu
vous entretenir.
En vous renouvelant, cher Monsieur, l'expression de mou attachement bien sincère et très dévoué.
