II I I I

Somme . . 87

II 9 3 2 12 2 i

Somme. . . 122

(*) Nous reproduisons les Tableaux tels que les a formés Stieltjes pour le calcul du second membre de la formule à vérifier. Les valeurs des premiers membres sont données ensuite.

COUUKSl'ONDANCK I) IIKIUIITE El DK STIELTJKS.

y. J^ VV -^ /•

etc.

coDime j

puur / » ^ 63. .'

Somme. .

etc.

Somme. .

etc.

Somme. .

ao • 297

etc.

Somme. .

n = loi .

LETTIIF. 15.

. E{sjx).

île.

etc.

IÎ9

loô

etc.

Somme.

CORllESPONDANCE U IIERMITE ET DE STIELTJES.

vA^'x). Ef^). g{p). zg{p).

il 33 5

rt = 1 65 . . I 161

■ïi

Somme. . ,

■ii

Somme. . .

n = loi. 81 9

Nombre

des

dccom-

positions.

(io

22 CORRESPO^DA^CE D IIEUMITE ET DE STIELTJES.

Quant à votre seconde foi mule, dans votre seconde lettre, elle se trouve ainsi :

F(/?) le nombre tola/ des dccamj:iosilions en cinq carres

Ei(,r) = E Ix-h - j ~E{cr) = E(-2:r) — -2 E(a:), F(i) -f- F(-2)+...+ F(/î)

-f- iC)^ [rtE(v//< ^ — ««') — 2(— ly' cE{\/u — 4 ce')],

a et a' sont tous les nombres entiers impairs, n >> aa', c et c' les entiers quelconques tels que n >> 4 ce'. J'ai supposé que dans

fE{- ) + 2cE, ' "-

il fallait poser

a = I, 3, 5, . . . , al n

On aura, par une transformation analogue à celle déjà emplojée,

SaE(v/« — aa') = ^g{p) e{^ n — />) (/» = i, 3, 5, . . . , 1 «)

-S(i).'cE(v/;r:i7,7c')-S^'(5')E(v/^r^4^) (^5' = i,2,3, ...,<:^');

en posant

^'('Z) = — -(— 0''^. cc'=q,

on voit facilement que pour

cj impair ^'(^) = é'(</), q = 2>>/-, /■ impair é'-'f^r) = ff(r).

Mais en faisant les calculs pour n = 5, i3, . . ., je trouve la formule fautive; je ne puis donc que conclure que je ne l'ai pas bieji comprise ou (pi'elle est gâtée par quelque erreur que je n'ai pu deviner. Voici cependant les valeurs de F(i)H-. . .-\~F(n) que

J ai trouvées

Il = 1 •). . .

/t =rr S .

Je crois que ces valeurs sont exactes; je les vérifierai par un calcul indépendant et contrôlerai votre formule avec plaisir, si cela vous parait intéressant, dès que je connaîti-ai la forme exacte. J'espère pouvoir revenir plus tard siu" une autre question que vous ave» posée dans votre lettre.

Veuillez bien me croire, Monsieur, votre très dévoué.

P. -S. — En adressant cette lettre à Paris, j'espère qu'elle vous parviendra en bon ordre. J'ai une copie de tous les calculs.