STIELTJES A H ERMITE

Leyde, \î août i883.

Lorsque, hier soir, j'apercevais la transformation dont votre formule est susceptible ('), j'ai voulu vous en donner connaissance le plus tôt que possible et le temps m'a manqué à indiquer comment j'j suis arrivé.

Prenons /? = 3^ ; en jetant les jeux sur le calcul

^Uii-kp). M

giP)-

j'observe que dans la colonne ^ = E (

giP)-

on trouve les

( ' ) Le début de la lettre semble indiquer qu'il existe une lettre du 11 août. Elle manque.

24 COUUESl'ONUA.NCE d'hKUMITE ET DE STIELTJES.

nombres (en renversant l'ordre) i, a, 2, 3, 3. On s'assure aisément que, dans le cas général, ces nombres sont

I 2 -i 3 3 3 4 4 4 4 etc.

/ deux fois , , trois fois i /quatre fois \

en sorte que le second membre de votre formule peut s'écrire

ff(p)-^^[S'(p— i) + g{p- 4)]

En remplaçant n par n — 8, /? par p — 2 on a de même

la dilTérence est

gip) —gip— 2)

ou

ffip) + S'{p — 'i-)-^ gip- 6)-+-^(/> — 12)^...,

c'est-à-dire

j., . /n~\\ In — ()\ (n — 25 \ In — 49 \

A-t-on jamais vu une formule plus belle! Je n'aurais jamais pensé qu'une expression aussi simple pourrait exister. Et que cette formule est différente de celles qu'a données Eisenstein ! Je ne puis exprimer, Monsieur, que mon admiration pour des recherches qui vous ont mené à une vérité aussi belle. J'espère être assez heureux pour connaître un jour les principes que vous avez suivis dans cette investigation.

Votre très dévoué.

LETTRK 17.