SriELTJES A HERMITE

Toulouse, y- avril 1889.

Cher Monsieur,

11 y a certainement des rapprochements à faire entre mon travail et les travaux classiques sur le théorème de Sturm et sur votre méthode. La forme quadratique

F= — î — (Xo-haXi-4-a2X., + ...)2 X — a '

est aussi de cette forme j^articulière 7 A,^./!;XtX/;, le coefficient de XjX^. . . dépendant seulement de « '+ A", et je remarque encore que le point de départ de mes recherches est la recherche du minimum d'une intégrale

I ■ \i-]- ai(x — u) -\- a.:,{x ^ u)^ -h. . .-h a„(or — «<)" (lu;

c'est peut-être aussi à rapprocher de l'expression F. Mais nous voilà à peu près arrivés à la fin des vacances et, mon travail ayant pris plus d'extension, il me reste encore heaucoup à faire.

Je ne crois pas me tromper (mais je n'ai pas en ce moment la bibliothèque à ma disposition) si je me rappelle que votre remarque sur l'application de la série de Lagrange au développement de x suivant les puissances de t ayant y"(^ )=/'(«) e"''' se trouve déjà dans l'exposition même de Laplace de sa méthode.

Voici une curieuse identité algébrique que j'ai rencontrée chemin faisant. Parmi mes fractions continues est la suivante :

Q-XZ cl;^ ^=

424 CORIIESPONDANCE d'hERMITK ET DE STIELTJES.

pour «= 1 , 2, on retombe sur les deux premières que j al obtenues, cette formule est même renfermée dans une autre où iif^urent deux paramètres a el b.

Mais je prends « = — /?, n »''lant entier et positif, alors

Je ne crois pas que ce soit facile à démontrer d'une autre façon.

Il me faudra encore beaucoup de travail pour coordonner les ■ résultats que j'ai obtenus et surtout pour m'assurer qu'il n'en reste pas d'autres qui m'auraient échappés, de manière à a\oir un ensemble à peu près complet.

En vous renouvelant, cher Monsieur, l'assurance de mon entier dévoûment, je suis toujours votre très reconnaissant.