HERMITE A STIELTJES

Pai'is, 5 mai i88y.

MoK CHER Ami,

J'ai donné dernièrement, dans une leçon, pour origine à la série de Gudermann, qui a beaucoup attiré votre attention, l'intégrale

S = I e"' -— ; dt.

En employant l'identité

on obtient, en effet, une somme de termes représentés par l'intégrale

/ e(«+A)' — ^ i- df = I a -r- A -^ ~ )

io<ï I -t-

avec un ternie complémentaire

([ui reproduit la quantité J en y changeant a en a -\- n. Comme

on a J = — ^ , où £ est <C i , le terme complémentaire a pour 12a 1 ^

limite supérieure — -, et devient nul pour 11 infini, ce qui

^ 1 2 ( rt -i- n ) c- '1

détnontre la convergence de la série

l[(''-^--i) '»«(■- dr-A-)-'] a- = 0., ,,,,...).

Je suis peu satisfait de ce que dit M. Serret dans le second volume de ses Leçons, pour démontrer directement cette convergence. Il me semble nécessaire, en restant dans le cas de a réel et positif, (remployer le développement

,og(, + .) = ..:^ + Ç^^^ (6<,) (|ui donne pour limite supérieure du logarithme la quantité

(^n trouve facilement

a + k ^ ) los ( I H-

( rt-l- A-H - ) ( — ^—j •ij \a-\- k

ii{a -+- ky^ Ç)(a -{- kf

d'où une somme de deux séries convergentes, pour limite supérieure de la série proposée.

Vous m'avez bien surpris en mapprenant que la forme quadratique

y — '■ (X + aY + a2Z-f-...)2

appartient au type 7 A/^/fX/X^, dont vous avez le premier reconnu

426 COnUKSPONDANCR l)'HER>HTE ET DE STIELTJES.

l'iiii|)orlance; il en est de même évidemment de celle-ci

7 rX -1- (.r — a)Y -h (.r — <7 )-Z -+-. . .12,

dont j'ai fait aussi usage. Mais y aurait-il lieu, pour l'Arithmétique, de distinguer ces formes, et intérêt de chercher, ce qui est encore une question d'Algèbre, les substitutions qui conduisent

à des transformées de même genre ^ A^^^^X) X)^.?

En vous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mon bien affectueux attachement.