STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, 7 mai 1889.

ChEI! Mo]\SIEUK,

Me sentant un peu fatigué, et aussi à cause de mes conférences..., j'ai dû interrompre, pour une dizaine de jours, mon tra\ail, mais je compte bien le reprendre bientôt.

Voici une petite remarque, sans aucuine portée d'ailleurs, que j'ai faite sur un- j)assage de la Théorie analytique de la ehaleur dont nous devons une si lielle édition à M. Darl)Oux.

Fourier, pour ol)tenir le développement

i = a cos.r -4- 6 cosSa- -H c cos 5.r -i- fi? eosja^ -I-. . . ,

pose .2? = o dans cette relation et dans celles qu'on en déduit par des différentiations successives, il obtient ainsi

■]Hl

n de ces équations lui donneni les )i premiers coefficients et, posant ensuite n =00, il obtient

(■osa? — -7 cos3,r -\- -.■ cosaa; — - 00573? -h. . . .

Il est clair que cela revient à détenniner une expression

a„(,r ) = «1 cosa; -\- a^ cos3ar H-. . .H- a„ cos(2« — i)t

par la condition que le déveIop|)enient de 'f//(-r) soit de cette

forme

çp„ ( .r ) = I + A„ x"-" ^- knv 1 a72"+2 -t- . . . .

Or, je remarque que l'identité

(■>.i-iin.-r)2«-i — {e'x— e-ixy.n-\

donne facilement

(siiia:-)2"-i = A;;

On en conclut

Il — \ . ( n— \){n — 2) . . im,7' sin 3.7- -1- sin 33*

/ ( sii) .r )-""' t/,r

I (« — i)(/-* — 2) cos 3 .r -1- - cos 5 x

B,, — / sni,r)2"-i dx = ^r^ ^ '■ »

Jo 3.5.7...(2/i-i)

et il est clair qu'on aura nécessairement

(i) o„(^) = — - cos2.r — - cos3.r -H - cos 5 a- — ... ,

B„ L 3 /i T- I 3 (/iM-l)(/H-2) J

(2) i — (s„ix)= I (sin.r)2'' -1 «'a-: / (sina-)^"-

-1 rt'r.

11 est facile de constater l'identité de (i) avec le résultat de Fourier, on a notamment

B„ (r-— i)( y^—1). . [(2/1 — 1)2- ij B„ -

A l'aide de (2) il est facile de démontrer qu'on a

lanL (juon suppose — - << jc <CH En effet, soit

C/( = / ( s'inx)-"-^ do-

évidemment

C„+i< sin2a".G„ et B„j-,= ^ B„: