I - - cp„+.i(a?) G,f-n , G I — ci„(.r) ~" B„+, ■ B

— ) sin2 m /

Donc ce rapport i — 'i,/+i(j') : i — -On^x) restera inférieur à un nombre fixe À compris entre sin-j: et i, pour des valeurs suffisamment grandes de a?, d'où

lim[i — (p„(.r)J = o (n = -Ji).

En faisant croître n indéfiniment, Téquation (i) donne donc

COSo^ -r- 7 COS ^ X — .

Pour établir ce résultat en toute rigueui-, il faudrait montrer qu'en posant

b = CO?iX — - COS 3^ + -Q,0%JX — .... ,D 5

I n — I „ i {a — i){ti — -i.) b = coScT — - ■ — COS 3 a; -\- ^ , , cosaa:* — . . . ,

on a

lini( S — S') = o («=»:;).

Ce n'est pas difficile, mais peu intéressant. J'ai écrit un petit article sur ce sujet pour les Nouvelles Annales ('). On peut obtenir d'une façon analogue le développement

- sin 2.r sin/iiT H — - sin ^x — .

(') Note des éditeurs. — L'article a paru clans le Tome. VIM, page 4^2, de la 3' série des Nouvelles Annales de Mathërnatiq ues .

LETTRK 201. 4^9

Soit d'aborJ

<}^ra(-'Z') = «1 sin-i^ H-. . .-h a„ si 11 i nx avec la condition

i];„(:rj — x ^ X„a:*''+i4- kn^xx''-»^-'' ^

On obtient '|'«(.r) en remarquant que

ne dilïère que par un facteur constant de / ( sina-)'^" dx^ ....

Veuillez bien agréer, cher Monsieur, la nouvelle assurance de mon sincère dévoûment.