I. 2. . .m. 2'"-^ OÙ

T„j = m'"-' sin mt — m , ( m — 2 )'«-i siri (m — ■1)/. -+- /n2 ( m — 4 )'"-! sin ( m — 4 ) ^ — ... ;

43o COKKESI'OINDANCK DUKIOUTE ET DE SIIELIJES.

cette quantité T,„ a pour maximum

[JL étant l'entier contenu dans — cl il s'agit d'obtenir, pour m très

grand, la valeur approchée de -^ — ^ r: c'est-à-dire de la

série

S = /(o)-l-,/(u+... + /(r)+... + /((JL),

en posant

J'introduis dans ce but, au lieu du nombre entier /•, une variable x\ je fais pour cela

/•(^) = \Jl L

•^ ^ ' Y{x -\-\)Y{in—x-^\)

De cette manière, une valeur approchée de S est donnée par

l'intégrale définie / fi^x') dx^ qu'il s'agit d'évaluer elle-même

par approximation.

Admettant, comme le dit Laplace, que les termes de la série S vont d'abord en croissant et qu'ils ont un maximum après lequel ils diminuent; je cherche ce maximum en posant /'(j:,-) =:= o. Les expressions as jmplo tiques de r(.r-i- 1) et Yi^in — .r + 1 j me donnent d'abord

(A ) Hv — - = — loga; H- log(/w - x)

Je néglige les deux derniers termes; je remplace par

et je trouve, pour déterminer le maximum, l'équation de

•IX — m

la Mécani(/iie céleste

2 m , = loi

qui achuet une seule racine x" = ç = o,o83 o'j ni. Cela étant, je dis

LETTRE 201. 43l

qu'aux limites x ^ o, x = ^j., les quantités

sont l'une et l'autre très petites. On a, en effet,

et la valeur ç = o,o83 07 m montre que le facteur --^ décroit,

quand //i augmente, bien plus rapidement que n'augmente la puis-

(rn \ "'^' /'( |i. ) , , — c =(1.2...)'" '. ( )uant à ^^77y7 c est zéro ou

j mais cette remarque a peu d'importance,

comme vous allez voir. La propriété de la fonction ,/(•/■) de n'avoir qu'un maximum entre les limites de l'intégrale conduit naturellement à employer, pour obtenir cette intégrale, la méthode du calcul des probabilités en posant •

Soient ^ = — g et t = -^ h les valeurs de t qui correspondent aux limites x = o et ^ = u., nous aurons

J^ fi.x)dx = M)J e-^"-clt.

Cela étant, si l'on se borne à employer le premier terme seulement de l'expression de dx^ qui est i/— V. dt^ ce qui donne la quantité

on observera que l'intégrale définie tend, avec une extrême rapi-

dite, vers sa limite / e^'' dl = y/'u et en diffère fort peu, même

pour des valeurs médiocrement grandes des limites g et li\ de sorte qu'on obtient, pour l'expression approchée,

4331 CORBESI'ONUANCE d'hEUMIIE ET DE STIELTJKS.

Observez, inaintenanl que réqualion (A) donne, en négligeant

les termes en ^ et —. i

on en conclut

1 r^ fir, (m — -i\)\/\(m — \) \ke)'" {m —'i\)"^

Faites comme Laplace \ = i/no^ cette quantité devient

I r e(i — 2 co ) 1 "'

ou plutôt en représentant par E, comme fait, je crois, M. Tisserand, la base des logarithmes népériens

La règle de convergence lim y^J •< i nous donne donc la conclusion de la Mécanùjue céleste.

Tout à NOUS bien affectueusement.