STIELTJES A IIERMITE
Leyde, i3 août i883.
Monsieur,
En réfléchissanl de nouveau sur votre première formule, je me suis aperçu qu'on peul l'obtenir très simplement comme il suit :
Attribuons à ^jj-, z, t^ ?< seulement des valeurs positives impaires, /î ^ 8A " + 5 et considérons le nombre des solutions de l'inégalité
ce nombre sera évidemment égal à
Mais le nombre des solutions ])Our lesquelles x = i est, d'après le théorème de Jacobi (C/'e//e^ t. 3, p. 191), égala: [g'{r) somme des diviseurs de r],
Le nombre des solutions pour lesquelles ^ = 3, 5, ... est respectivement
ff
En sommant, on obtient pour le nombre total
c'est bien là votre formule.
Il est difficile à croire qu'on puisse avoir une démonstration plus simple. Du reste, il va sans dire que je n'aurais jamais fail le rai-
20 nOHUESPONDANCE d'hEKMITE ET DE STIELTJES.
sonnemenl plus haut sans voire Commuuicalion. A cuillez bien me croire toujours votre très dévoué.
