STIELTJES A HERMITE
Toulouse, 16 mai 1889.
Cher Moinsieuk,
Je ne me rappelle pas a\oir vu quelque part explicitement la formule
iog — = - lue « — ... ;
cependant on ne peut pas, à proprement dire, la considérer comme nouvelle, puisqu'elle résulte immédiatement, en retranchant les formules (59) et (58) du Mémoire de Gauss Sur la série hypergéométrique {OEuvres, t, 111, p. 103), car
logJj(^-;) =\o^v{z^~^, logJJ(5)=logr(3) + log5.
Mais je considère cette formule sous un autre point de vue. Soit 6 un entier positif, on a
logr(a -{-b) — logr( a) = iog a(a + i) ... (a -4- 6 — i)
= 6loga-+-2jog(i4- -y,
donc en développant suivant les puissances descendantes de «, et en introduisant les fonctions de Bernoulli (j'adopte la notation de M. Jordan, t. II, p. \oi),
(A) log
i"-t- ■>."-+-.. .H-( 6 — 1)'*= 1.2.3. . .ncp„(6); r ( a -4- 6 )
Cil (6) '-22(6) l.2.Cp.3(6) I.2.3.cp4(6)
J'ai supposé ici b entier et positif, mais en ayant recours aux intégrales définies qui représentent logr(a + b) et logT(a) vous verrez aisément que le développement ... est valable sans cette restriction. Toujours est-il remarquable que, lorsque b est entier ( positif ou négatif), la série est convergente lorsque a est suffisamment grand; ainsi la dédiu'tion précédente montre bien que pour b entier positif la série est convergente tant que a"^ b — i. f^orscpie b n'est pas entier la série est divergente quelle que soit
la valeur de <7, comme cela arrive, par exemple, pour 6 = - ... ce
(pii donne précisément le cas particulier mentionné plus haut. Vous voyez que cette supposition, b entier positif, fournil y\n moyen siuqjle pour retrouver la formule.
On a généralement
Oa{\ — h) = (— i)"-io„(è), donc
(B) log
Via)
9i(6) <p-2 ( ^ ) 1 . 2 . tp.-i ( 6 )
(1 — 0; log a
ce qu'on pourrait trouver aussi directement en supposant encore b entier et positif.
La combinaison de (A) et (B) . . . donne
^^^ 2'*^^ ru)r(a)
= J loga + i^ + i:ljM^ ^ y.o..-i.^.^db) ^ ■i a a^ a^
438 COUnESPONDANCIÎ I) HEUMITI': ET DE STIELTJES.
Supposons niainlenanl o<ih<^i .... D'après les pio|)riétés connues des fonctions o vous verrez <pie dans ces séries (C) el(D) les termes sont alternativement + et — et elles ont même caractère que la série de Stirling; en s'arrêtant à un terme quelconque l'erreur est moindre que le dernier terme.
Si vous introduisez les intégrales définies |)our logF, \ous trouverez, en déxeloppant, les formules par intéj;rales définies des fonctions de Bernt)ul]i dont vous avez traité dans le Journal de Crelle{').
Les séries (C) et (D) ne donnent pas de fractions continues simples, mais les séries obtenues en prenant les dérivées par rapport à a donnent des fractions continues élégantes. Pour les
écrire sous leur forme la |)lus simple, je remplace a pai- -y
b par > donc i — b i)ar Alors on a
,r., ,,a-+-i-ho\ ,/rt-)-i — b\ .a
"^ nmin-hi)^— 62]
in-ï i ^
Si dans (D') on suppose b entier, ou dans (C) b entier im))air, on retombe sur de simples identités algéhriipies, car d'une |)artles fractions continues se terminent brusquement, et d'autre part les
(') Ce que je dis ici se rapporte aux loiiiiiiles analogues à la formule de Scliaar dont je vais imrler à la (in de tua lettre.
premiers membres, en vertu de
sont aussi des fractions rationnelles. Cette circonstance me fait soupçonner que ces fractions continues représentent toujours, en sup|)Osanl a et b réels, les [)remiers membres, mais je ne l'ai démontré rigoureusement qu'en supposant — i << 6 H- i . Mais ce qui résulte surtout de uion travail c'est la parfaite justesse de votre idée de faire dépendre les propriétés des fonctions de Bernoulli de leurs expressions par les intégrales définies.
Je dois ajouter que pour discuter . . . les séries . . . , il semble indiqué de recourir à des formules intégrales analogues à la foiniule de Schaar dans le cas de la série de Slirling. C'est
ce qu'on peut faire dans le cas de log ■ L."^ " ' ainsi par exemple
r°° X du e-2"« sin('26-;r)
~ \/(, ^'^ -\- u^ I -+- 2 e-^ii:" cos ( '2 6 -II ) -H e-'*'^"-
Dans le cas de la fonction logT il doit y avoir sous le
signe / j je crois, un log, mais le temps me manque en ce moment
pour chercher la formule, voulant vous faire parvenir cette lettre aussitôt que possible, à cause des Mémoires indiqués de M"'^ de K. sur lesquels vous voudrez demander peut-être l'avis de quelques personnes plus compétentes.
Veuillez aussi, pour cette raison, m'excuser Je vois bien
que j'ai écrit une lettre un peu embrouillée. Croyez-moi toujours votre très dévoué.
