STIELTJES A H ERMITE

'loulouse, 17 mai 1889.

Cher Mojvsieuis,

En rétlécliissant sur ce que j'ai grill'onné hier soir, je sens le besoin de m'expliquer plus clairement afin de vous épargner la

LETTRE ^07. 44l

peine de débrouiller cette lettre trop confuse. Je reprends donc la formule

I, r{a-^ h)V(a-^i — b) i. cpj ( 6 ) 1.1.93(6)

en exprimant les fonctions logF par la formule

et

loga = / ( e--»^-- e-a-i) — ,

on trouve en posant

, of < / ( '' — ^ ) ■'■ —(*—:;) -"^ ■^■^' — ::-^ \

Maintenant, je vais supposer

sous

cette

con

dition

1 )'^' 4 xco'ii'ib — I ) k 11

(oS

JV

tsx

ce

ui donne

•' cos

(•26 — D/fTT — 1

ou

our

Oi

x= ik-y,

,/ 1 ^ k2^ A-TI

log(i -I- 2/- cos a -f- /-^ ) = r cos a /--cos'ia -t- - /-^ cos.'} a +.

(\l\9. CORRESI'ONDANCK d'hEUMITK KT I)K STIEI.TJES.

Eu posant

on troiiNora facileinenl après quelques rédnelious

IJ suffit de remarquer que la fonction

I — 2e-2a7tr cos(2 67r) -1- e-'faTtr

est toujours ^i, donc son logarithme ^o, jjour voir que la série obtenue par le développement de J a le même caractère que la série de Stirling ; posant ay = x^

, I f"^ adx r I — 2e-2ii:-»^ 008(2671) -t- e-^'ï-^l

en développant

on obtient par comparaison avec la série

cpi(6) v.->.^-i{b)

(o^6ii),

d'où vous voyez que '-50,^^,(6) a un signe constant dans l'inler-

valle (o, 1) et (^ue sa \aleur al)sobie ('roît de o à -> décroît de - à 1 ,

en repassant par les mêmes valeurs. Cette valeur de '-s^/z+i (^) tl^i' revenir au fond à celle que \ous a\ez donnée dans le Journal de

Crelle, t. 79. Pour 0 =. - on retombe sur la formule qui se trouve

dans votre dernière lettre.

La formule de décomposition dont j'ai fait usage est une consé-

(juence de

gaz I '^^ -j.z vo^i-ialciz) — ^k-KÛniahr. ,

-^^=-.=z^li z^+ik^^ (o<«<.).

Voici un système complet de formules

2, -iAtz sin ^Att , ^

Il j a naturcUenienl une formule analogue pour le développement de

, r(rtH-6)

lue r— 7— •

Votre très dévoué.

/-*. S. — Je viens de recevoir voire lettre et je m'empresse de répondre. A ous me faites beaucoup d'honneur en voulant insérer mon résultat dans votre Cours, seulement j'ai obtenu la limitation

plus simple

a = Re'û (^ TT < 6 <+ tt),

niofl ^{a) <

ehx

-hx

gX

gbx

-bx

gX

phx

-bx

r-iR cos-|6 ce qui, pour le cas a réel positif, donne

C'est donc cette limitation

inod J ( a ) <

iiRcos49 que je vous prierai de mentionner.

(4 CORRKSPONDANCE D HERMITK ET DE STIELTJES.

A (tici la (léiTionslralion

,ri+\

rt ) = > / dx =y I dx^

ce (iiii donne la série de Giider inann

mais aussi

— dx.

/•'"^'/i + i — X r tn-^-y — x r'^

I dx = I = dx — /

En posant dans la première intégiale x = n +jKj dans la seconde jc = /«+ i — y, il vient

/•""^'/iH-i — X fî i(i — -iyy-dy I = dx = / >

J a-hx J {n-^y -^a}(n-^\ — y -r- a)

''"^=t.rv^

Ui — -j.yfdy

Jo ('i+y-+-a)i/i^i—y^a) On a

(n-i-j-t-a)(/i-+- I — y -h a) = {n -+- n) (n -i- a-]- i) ~ry(i — y); donc, dans le cas a réel positif,

c'est-à-dire

12a Mais soit

a — He'^ (— Ti < f) <-i- ~),

/i-i-y et fi -\- i — y soûl toujours rc'cls et positifs; or, lors(pie b est réel et positif",

mod ( 6 + « ) = \/(b -^ Ry cos-H^ -^ (b — R)^^in^^O, niocl(6-i-a) > ( 6 -1- R) cos^ô.

Ajanl ensuite