STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, 28 mai 1889.

Cher Monsieur,

Un travail urgent (rédaction d'un rapport annuel sur l'état de l'Observatoire de Toulouse) m'a fait remettre pour quelques jours de répondre à quelques questions qui se trouvent dans vos deux dernières lettres. Comme vous le remarquez, on peut écrire, au

45o CORRESPONDANCE d'heBMITE ET DE STIELTJES.

Heu de

x\\'^{a -^\ — x)- — (!/(« + r)] dx^

'h(x) = -^logr(a-).

Déjà, en 1886, j'avais renconlré jDOiir S{a) des intégrales avec la fonction <!^ sous le signe / ? par exemple, aussi

C = o,5'j'j:i . . . et ces intégrales sont valables dans tout le [)lan excepté la coupure de o à — co. Mais je n'avais pas réussi alors à en déduire la formule de Stirling, ce qui n'est pas difficile pourtant et j'avais complètement perdu de vue ces expressions, jusqu'à ce que le travail de M. Bourguet m'y ait ramené.

Voici une remarque d'où l'on peut déduire directement la formule

^ . , I , T(a-hb}r(a — i~b)

1 , I /"" « dy , r I — ie-^Ti.v cosiby -{- g-i't^ i = - oir« / — loe

(olèli),

soit h une constante réelle et posons

Je dis que lorsque a est réel on peut exprimer mody(///) par les fonctions élémentaires. En eU'et

df(ui) = v^r' b -h ui) V{\ — è -f- iii) Y(b — ui) Tii — b — ui),

ino

mais

T{b -^ ui)Y{\ — b — ui) = -. —, r- ,

sin7r(o -H ui)

V{ b — ni) Y(i — b -h ui) = —. -, >

simr( b — ui)

mo(iy( ni) =

^sin7r(è h- a«) simr(6 — ui)

4 si 11 7: (6 H- Mt) s in 71 ('6 — ui) = •2(cos2 7ri<i — cosaèir) mody(Mt) —

^g2m4| g-27tK — 2 COS26- Vous voyez donc (|uX'n posant

logir,

on peut exprimer directement la partie réelle de ^{y i) en supposant j" réel et l'on trouve alors

où NOUS \ovez la lonction sous le signe / dans la formule (A).

Et l'on peut en conclure directement cette formule (A) à l'aide d'une formule déduite de l'intégrale de Cauchy

f{x)^ -^. f l^^dz, ^ ^ ' -^-KiJ z — .r

(jue j'ai donnée dans le cahier de mes Notes, sur la fonction F, pour en déduire la formule de Binet

On peut obtenir (Tune façon analogue la formule

I r(a-Hé) (B) -log— — S—

= — 6 — - loga / -^ -aictaiig -

e-''^y sin(2è7r)

e-27ty 0032671

(oSè^i),

en remarquant (lue la partie imaiiinaire de loa rz — - — -, ^s'obtient

' ' ' ° 1 (I — 6 -H ui)

facilement. Les formules (A) et (B) conduisent à des expressions

des polynômes de Bernoulli qu'on peut transformer /?«/• une inté-

/45'i C.ORKKSI'ONDANCi: KHKRMITK KT DE STIKLTJES.

gration par parties dans celles (luc iîaiil» cl vous oui domK'-t's. l.e (1('\ rlo|)j>onipnt de (B) donne

^ lo o .^ — =\ li — H>ii n — ^ — — ^ 1^ . . . ,

■j. ^ l (a -hi — o) \ ■>. I ' a- a •

la série di\eri;ente ayant les mêmes |)r()|)ri»''lés que la séi"ie de Stirlini; (juant au terme complémentaire.

Je dois vous l'emercier encore l)eaucou|) de donnei- ma limitation de jnod,l(r/) dans \otre (]ours. Je croie, en elïel, que cette limitation a (|uelque importance aussi pour la tliéorie de la fonction r en j^énéral. Comme je Tai moulré dans le cahier de mes ISotes, on peut en déduire rigoiireuscmenl la formule de Binet en se ser\ant de la formule de Cau(liv rappelée tout à l'heure, et j'avoue que j'attache quelque intérêt à ("ctte déduction. A euillez bien me croire toujours

\ otre très dévoué.