HEBMITE A STIELTJES

Paris, .'^i mai 1889.

Mon cher Ami,

Les formules (A) et (B) sont aussi helles quelles sont noii- \ elles; nous les mettrez certainement dans un tra\ail (rensemhie qui réunira tous les résultats auxcpiels nous êtes par\eiiu sur la fonction Y {o) et fera un excellent iNJénioire.

J'ai été obligé de m'arracher de ce sujet pour me jeler tète baissée dans les fonctions elliptiques (pie j enseigne mainlenani , et, comme il m'est difficile de réfléchir en même temps à deux choses dillérentes, je m'éviterai, si ^ous le permettez, TcHort à faire pour vaincre la force d'inertie, en vous demandant s il ne comienl point de donner à rint(''grale

i{a)= / — — -^ e«^ dx

une coupure en faisant a.r^t^cc (jiii donne

/ e"{t — 'la) — t — -i.a J(«)= / — e'dt,

J •>./ne?«— i)

LKTIKE 218. 45'^

/ , ... - I . , / >.ni-K

la conailiou c? — i conaiiisanl a - =i:2ni~ ou a :=^ » \ous

soyez, ([lie, n pieiianl des valeurs positives et négatives, l()is([iie t varie de zéro à — x, on obtient pour coupure tout l'axe des ordonnées.

C'est done le même résultat qu'avec l'autre expression si ditté rente

Piiis-je dire ensuite ([ue votre limitation mod J (a)

i2Rcos2,M)

est \alal)le dans tout le plan, nonobstant cette coupure, (|ui se retrouve dans l'ex[)ression

dx ?

C est ce que, sans trop rétlécliir, je conclus en lisant dans votre avant-dernière lettre : « 11 va sans dire (pie cette limitation se rapporte à la continuation analytique de (i) lorsque la |)artie réelle de a serait négative. »

Dois-je comprendre que vous faites cette extension, ainsi qu'il ])arait naturel, au moyen de la relation

J( — a) — — ]{ II)

à laquelle ciniduisent les deux expressions de J(a)?

Samedi dernier, après ma leçon, j'ai été à Versailles voir Halphen, pour la dernière fois, sur son lit de mort. J'ai eu avec M""' Halphen, (|ui contenait son désespoir en retenant ses larmes, un entretien dont je ne pourrai jamais perdre le souvenir. La présence à ccVté d elle de madame sa mère, qui est de Nancy, et m'a parlé de ma famille qu'elle a connue, a fait un [)eu diversion; j'ai tenté, en [)arlanl du mérite éclatant de son mari, de donner la seule consolation qui fût en mon pouvoir, et un intime ami, M. Collet, qui a corrigé les épreuves du Traité des fonctions elliptifjues, m'a écrit

454 CORRESPONDANCK d'hiiUMI TF, ET 1)K STIELÏJES.

que ma \ isitc n"a\ail pas été eiitièrenicut iiuilile, mais que c'est peu (lecliosel Sunf lacrymœ rerrtnt et uicnlcni nioitalia tangunl.

En vous renou\ elant, mon clici- ami, I assurance de toute mon affection.