STIELTJES A H ERMITE

'l'iniloiisc. II- 2 juin 1S89.

ChEI! MoiN'SIEUl!,

\ ous trou\erez \\n peu plus loin un petit résumé des foramles nouNclles de la théorie de la fonction F. qui \ous sera utile |)cutêtre lorsque \ous reviendrez sur wWv lliéorie; pour le uiomeni, il suffira de remaixpier que la formule

log r(a)=(« jloijrt — a -\ loe;'^- -^ i (a)

déliait é\ idemmenl J ( r/ ) couime fonction non unifornic de a. Mais supposons une coupure de o à — • 00 et prenons ^{o) réel lorsque a est réel et positif. Alors, grâce à cette restriction de la marche de la \ariable, i{a) est (artificielleuient) uniforme et a une valeur déterminée dans tout le plan (excepté, il est vrai, les points

de la coupure où, à vrai dire, il y a deux valeurs selon que Fou arrive en ce point par un chemin tracé dans la partie supérieure

ou inférieure du plan). C'est cette fonction J(a) qui est donnée par

dx

<-) Ha)= r('--.)'S( ' '

et à laquelle se rapporte la limitation

mod J( Re'f) ) < — ? — •

i2Rcos4e

Quant à la formule

elle n'est exacte qu'en supposant P. R. a >- o et, pour éviter toute équivoque, il vaudrait peut-être mieux écrire

a los(i — e^"')

dt,

où il faut prendre le sii;ne -f- ou — selon que la partie réelle de a est positive ou négative.

Si l'on adoptait (i) comuie définition, on aurait

Mais, comme vous l'avez remarqué, l'axe imaginaire est une coupure et des deux côtés on a, en vérité, deux fonctions difterentes dont l'une n'est pas la continuation analytique de l'autre. Ici, comme d'ordinaire, par continuation analytique il faut entendre cette continuation parfaitement déterminée qui se fait, d'après M. Weierstrass, par la série de Tajlor ou, d'après Riemann, par

l'équation

.0 f(a) à fia)

Toute autre méthode conduit à rarl)itraire. Donc il ne convient