Î6 c()kkksi'o.ndam;e d'iibrmitk. kt de siieltjes

pas d'adopU'i- (i) coniine déliiiilion ^t'nérale, il faut la borner au ras P. 11. a >> o ou, ce (jui re\ lent au même, la remplacer par (i'). La continualion anaivtltpie (d'après Weierstrass) de la l'onction qui est définie [)oui-

par l'intégrale

\ /*""°°alog(i — e-^Tt')

dt

est précisément la l'onction J(«) telle que je l'ai définie en commençant, et qui est donnée par (a).

Il serait facile de continuer analytiquement celte fonction J(«) en traverscuiL la coupure; pour cela, il suffit de calculer la difïerence des valeurs de J(«) sur les bords de la coupure. Mais alors elle cesse d'être uniforjne.

.lai vu a\ec plaisir Notre transformation

J(a) =j \,,,(,i,^ «- clv i P. R. a > o)

en

e" ( ï — 2 a) — t — i.a , , — ^ 7 — — e' fit.

Dans la première, on doit supposer P. K. « >■ o poui' que lintégrale soit convergente; il est curieux de voir que, dans la seconde, cette restriction s'annonce par l'existence d'une coupure.

Sait-on, Monsieur, si le Tome III du Traité de Halphen est irréparablement perdu ou s'il avait préparé du moins une partie pour l'impression déjà ?

A-t-<»n d('-jà démontré que la conslante eulérienue

est un nombre incommensurable? Je pense de temps en temps à cela, mais je n'ai pas encore trouvé une expression de C qui pourrait conduire à une démonstration, cependani, je dois examiner encore quebjues expressions obtenues récemmenl et cpii me semblent donner ime faible espérance. Mais peut-être que je perds ma peine à pure perte et la chose esl-elle déjà démontrée.

Mais jua principale occupation est (Tacliever et de perfectionner

mon lra\ail sur les Iraclums coiiliiiues ; pour n'y pas renieraier Irop de choses un peu disparates, je le scinderai en deux parties : l'une plutôt algébricpie, tandis (pie, dans la seconde, je nvoccupe de la (piestion de con\eij;;ence surtout. Ces fractions continues représenlenl ordinairement des fonctions dans tout le plan, excepté une coupure comme J(a).

Je pense passer les vacances près de ma famille en Hollande, c'est plus de quatre ans que je n'ai pas vu ma famille et ma femme éprouve aussi un grand désir à revoir ses parents. Cela n'entravera en aucune façon notre travail, la Haje est même plus près de Paris que Toulouse (onze heures en chemin de fer au lieu de seize heures). Je pourrai même travailler là-bas plus à mon aise qu'ici où les grandes chaleurs sont vraiment accablantes, et les enfants aussi en soutirent beaucoup. Vous lue savez être toujours votre très dévoué.

P. -S. — Les intégrales définies dans la théorie de la fonction i\(/), (pi'ou a considérées jusqu ici presque exclusivement, ne sont \alables (pie sous la conditi(jn

11 n'j a (pi une exception apparente pour la foriuule de Binet

mais vous avez remarqué que, à vrai dire, ce n'est là qu'une illusion. L'intégrale représente des deux côtés de la coupure deux fonctions clitrérentes, l'une n'est pas la continuation analytique de l'autre.

C est M. Bourguet qui a d'abord obtenu des intégrales définies qui permettent de franchir l'axe desjK- H obtient une formule que j'écris, après un léger changement de \ariable,

(., ""> = ll û

du

SI 11 iiiiza

elle représente la fonction J(rt) dans tout le plan a\ec la coupure de o à — ce; c'est la fonction J(a) telle qu'elle a été définie plus

458 COHRESPOMJANCE DHEKMITE ET DE STIELTJES.

Ililut. Une antre l'orme de eette formule de M. Bourguel esl celle-ci

V^ sin ■imzii

est évidemmeut une fonction périodique

P ( i< -+- 1 ) = P ( « ) et, dans l'inlerxalle (o, i), on a

Celle seconde forme (y.) se décompose iinmédialement dans la formule de Gudermann

i(a)= I du-+- I du-\-...,

(3) J(a)=;^[(a->-.-H^)log(";;-^;^'j-l].

C'est celle seconde forme (2) qui me jjaraîl la |)lus importante et la plus fondamentale ; il en résulte aussi directement la différence des valeurs de .](a) aux bords de la coupure, d'après votre formule.

La formule de Gudermann (3), déduite de (2), |)ermet naturellement de continuer la fonction J( a) en traversant la coupure et met ainsi aussi en évidence le vrai caractère de J(«) et montre qu'elle admet une infinité de valeurs selon le chemin de la variable, si l'on fait abstraction de la couj^ure.

Peut-èlre que je me déc'iderai à rédiger et à [xiblier ce que j'ai fait sur ce sujet.

J'ai besoin de ces formules pour faire voii- que la série de Stirlinj; est applicable dans tout le |)lan. Cela a loujours (Hé mon but principal et qui m'esl propre.

LETTRK 216.

La démonstraliou de la lliiiitaliOu iiiod J(a ) <

i-iRcos'-'iQ est le premier pas el le plus iiupoilanl dans celte direction.