HE n MITE A STIELTJES

Paris, lundi ( ' ).

Moiv cnKi'v Ami,

l'emlaiil hi séance de rAcadi'inic, pcrniellez-moi de vous envoyer un iiKil en courant pour vous dire que je suis sorti des lonelions ellipticjues et revenu à la fonction I («)•

J'ai entièrement refondu mes leçons; j'ai cru devoir ex|)Oser les propriétés fondamentales, d'abord comme tous les auteurs en parlant de la définition ordinaire, puis une seconde fois en pailant de la définition de Gauss et traitant alors de F (a) comme fonction aualjticjue. Enfin, je consacre une dernière partie à l'étude des

diverses intégrales définies ciui se présentent dans la théorie, -; -y

loi;r(a), J(rt), pour donner votre belle analvse cpii conduit à la

limitation de mod J(rt) |)our (/ = Re''^ et enfin / .r*^~'(i — j:)* ' dx^

pour en tirer les applications cjue vous connaissez du théorème de M. Mittag-Lefiler.

Dans ma leçon sur les coupures, je parlerai de la coupure de J(a) et de la substitution dune autre coupure à celle-là, par le fait de la transformation que vous avez obtenue de cette intégrale. G est là un résultat qui m'intéresse vivement et qui ma surpris; je crois bon d'ap[)eler lattention sur cette circonstance si remar- (piable que vous avez rencontrée.

\ bientôt, mon cher ami, une lettre inoins décousue et en vous renouvelant l'assurance de mes meilleurs sentiments.