STIELTJES A H ERMITE

Touluusc, 12 juin 1889, Ghkii Monsikur,

Vous considérez, sans doute, comme l'un des résultats les j)lus importants de la théorie de la fonction T ce théorème du à

(') Note des éditeurs. — Ceite lettre n'est pas datée et nous avons beaucoup hésité à la nieltre à la place qu'elle occupe, en la rapportant au lundi 10 juin 1889.

LKTTRF, 218. /461

M. \\ eiei'slrass, que ^^ ^ t-st taie fonction lioloinorplic dans loul

Jr |)lan.

Vctuellenienf. ce théorème s'obtient presque immédiatement si Ion prend pour point de départ le produit infini de Gauss et d'Euler. Mais, comment faut-il l'obtenir en prenant pour définition l'intégrale définie

Si. avec M. Prviu, on pose d'abord

P(a)= I a"«-ie--^ c/.r, Q(a)= 1 œ'^-^e-^ dx,

on obtient

1 . V. ( c/ ^ 2 ) 1 .'2. 3 ( a -H 3 ; fy -+- c, rt -t- C2 a- -f- ("3 «■* -I- . . .

et l'on en concbit cjue I («) est une fonction uniforme qui admet seulement les pôles simples o, — i , — 2, . . . . C'est là certainement déjà un résultat notable, mais cela ne suffit pas encore pour obtenir le théorème de M. Weierstrass.

Dans ce but, il faudrait démontrer encore //^/e Y (a) ne s'annule pour aucune valeur /i/ne de a. Ce point établi on pourrait conclure immédiatement que i ir(«) est une fonction entière, mais comment le faire?

11 est vrai qu'on peut tirer ce résultat, (pie V { a) ne s'annule pas, de la relatif )n

' sin-a

et, comme l'a fait remarquer M. Bourgiiet, cette formule montre aussi directement que

1 siii-rt

est une fonction entière. Mais en prenant [)our point de départ rinlégrale définie, la démonstration de cette relation (i) est assez difficile.

J'ai été amené ainsi à cherclier si Ton ne pourrait pas tirer

.'\6-2 COKRKSPONDAN'CK d'hKRMITE ET DR STIELTJKS.

(liiectemenl de la définition

la conclusion que r(a) ne s'annule pas, tant que a reste fini. Je remarque d'abord que si l'on avait

r(a) = o [jour a = a -1- j3t,

on aurait aussi

et, évidemment, ^ ne peut pas être nul. Ensuite ayant

Jf ar"-' g--*' fil- = o,

on aura aussi

/ ^«-'e '''•^«fa; = o,

k étant un nombre positif quelconque, donc pour a = y. -{- p i

I a7«-i cos( p loga;)^-'''-'' r/^ = o,

Ji a:-^-' sin (^ loi;a7)e-/'-*' <j^.r = o,

et ces relations doivent rester vraies en remplaçant a par a -h /?, n étant un entier positif quelconque. Je [)Ose maintenant

C'est là une fonction entière cpi'on peut développer

o(.r) = Vc„.r«

et l'on devra avoir maintenant

/ x<^-^'.:j>(.r) ^ini^\ogx)e-''^ dx = o,

car en remplaçant 'j( .2?) par^r,,^:" tous les termes sont nuls. De

même, il faudrait avoir

/ x^-^"-^<f(:/-) sin(ri \o<^t )e-''-^ dx — o,

n élanl tin entier |)osillf quelconque. Mais cela peut s'écrire

(A) / :r«+''-'çp(^-) sin( ,3 loga:.-)e-'^'-^'flfa?

-1- / .r°'+"-icp(:r ) sin( 3 log.r)e -''''•'■ fl^a:- = o.

Or, la première intégrale a une valeur absolue inférieure à / ^a+/;-i cix — — î

et tend, par conséquent, vers zéro lorsque n croit sans limite. Et dans la seconde intégrale

/ .r«+«-'«i( a-) sin( j3 loga")e-^-^ dx^

le produit

cp(.-r)sin(j5 1ogr)

a un signe constant ( — ), car cp(:r) change de signe en même temps

que sin(,3 log^c). Donc, évidemment, cette seconde intégrale a une

valeur négative dont la valeur absolue croll en même temps que n.

Vous vojez (pie réc[uation (\) implique contradiction, donc r(rt)

ne s annule pas et^r — est une lonction entière.

J'ai dû introduire la constante positive k pour parer à une objection qu'on pourrait faire à ce raisonnement. En effet, ce raisonnement serait en défaut si l'intégrale

n'avait pas de sens. Mais je remarque que la valeur absolue de cp(.r) est inférieure à

'^ / \ i -\- xe ^ / \i ^ xe ' I . .

464 cokkksi'o>da>(:e d'hekmitr et de stiki.tjes.

et a fortiori à

gjTgj-e "-exe

Jl est clair par là qifen prenant /. > / les intégrales ipie j'ai considérées ont bien un sens.

.l'ajoute (prévideninient dans les développements

f'ï= Vc„.r", cp(>) =\ r„ir",

Il 0

e,, est supérieur à la valeur absolue de c„.

Je me fonderai sur cette remarque pour détruire une autre objection qu'on pourrait faire et qui consiste en ceci. Il est bien \ rai que

/ .r='-i cp (.r ) sin ( 3 log.r ) €-'•■'' dx

a un sens, mais est-il bien sur que cette inléi;iale soit égale à

\^ / x'^~^c„x" sin( [i loga") e-'-^ dx,

et, par conséquent, nulle connue je l'ai su[)posé? Pour écarter le doute, je pose

o(a?) = Cu-h cia- -H . . .-4- f„i.r''-' -t- H„, et jobtiens

/ .r^-i cf ( X) siiii ^ loga^ ) e-''-'^ dx

= / a-^t-i H „ si 11 ( ^ lo g .r ) e-''-^ dx

«'Il

= lini / .rît-i R„ sin(P loga")e-/-^<:/r.

Or, en posant

S„ = enX"^^ e,,+isr"+^ -h . . . ,

la \aleur absolue de Vi,i est inférieure à S,^, donc; la valeur absolue de

/ x'^~H\„^n\{'^\o'j,x)e-'^-^ dx

LETTRK 218. 465

est inférieure à

Mais on a ./« .'u L 1.2. .(«-.)J

c esl-a-(lire

/ x-^ >S,,e-'^-^-rf.r = r(a) -, -, -, -, ^ -, -— ...

.7^ ' ' ik—lyj- k'J- I />-^+' [.-2 A-='+2

Or, on a ce (lé\el()|)peiiient ron\erj;pnt

lim ( / J-^-' S„e-'^-'' ffo j = o,

et à plus forte raison

liin / x'J--^ R,j siii ( ^ log,7' ) e-^'-^ dx = o.

Il me semble qiraprès ces explications, ma fléinonstration est à l abri de toute objection.

Je vous parlerai une autre fois du nojnbre C; certain résultat rencontré dans mes réflexions sur les fractions continues me donne quekjue espoir. Mais je dois d'abord rédiger un Mémoire pour nos Annales, conçu depuis bien longtemps, mais cjue j'ai laissé tomber dans l'oubli. Et, ensuite, il me faudra terminer mes fractions continues. Je regrette beaucoup que faute de loisir je n'aie pu examiner encore, d'après votre idée, l'intégrale

Pe^— Q

^ ■ e"-^ dx.

e-2u.^ga

p étant la réduite d'ordre n de e^^. La vie est bien courte pour tout

ce cju'on voudrait faire. Veuillez uie croire toujours votre bien dévoué.

4GG C0RRESi'0M)A>r;i; i)'iii:inii ir ki de stiki.tjks.