STIELTJES A HERMITE

Toulouse, i3 juin i8.S().

Cher Monsieiir,

En vous énivant hier, j'ai oublié de dire que lefail que Y {a) ne s'annule jamais, peut se tirer non seulement de la relation

V i. a ) l^( I -- a ) =■ t: : sin( TTC/ ),

mais encore de rex[)ression de iogr(r/) par une intéi;rale définie. On voit que logr(c7) a une valeur finie tant que la partie réelle de a est positive. Mais il ne me senil)le pourtant pas inutile d'avoir une démonstration directe, mallieureusement elle est un peu délicate; je crains qu'on ne puisse la simplifier beaucoup. J'ai rélléchi autrefois sur la fonction holomorphe

Q(.r)= / u'-'^e-" du,

et je voulais savoir si elle admet des zéros ou non. Dans le dernier cas, on pourrait la mettre sous la forme eJf-^^, (/(.r) étant encore holomorphe. Mais je viens de m'apercevoir que l'équation

admet certainement des racines. Ces racines sont imaginaires, du reste, car tant que x est réel Q(.x") est réel et positif.

Pour le démontrer, je vais supposer que Q(./") ^ o n'admet pas de racine, vous verrez que cette hypothèse conduit à une absurdité.

L'équation

Q(ir) = - -(-(.r— [)Q(.r— I)

montre que Q(i)^-> mais aussi que, dans notre hypothèse, Téquation

n'admet qu'une seule racine .r = i . En effet, si l'on avait encore

Q(«) = - {a difréranl de i),

LKTTRE 219. 467

011 en conclurail

Q(a — i) = o contre l'hypothèse.

Cela étant, je considère la fonction

Ç^(cr) = Q(i-f-e^-).

C'est encore là une fonction holomorphe, et, d'après ce qui précède, les équations

n'auraient aucune solution. {i{-v) serait donc une constante d'après le tliéorème de M. Picard, mais, cela n'étant pas vrai, il est certain que l'équation Q(.f') = o admet des racines. Si le uombre des racines de

Q{x) = o était fini {x=^x,, ..., x,,)^ l'équation

e aurait seulement les n -\- 1 racines

Or, est-il possible, {}{j^) claut une fonction entière, que les équations (J(3:) = a, Ç{x) = b aient toutes les deux seulement un nombre fini de solutions? J'en doute, et alors on pourrait conclure que Q(^) = o a un nombre infini de racines ( ' ). Mais il y a là évidemment matière à beaucoup de réflexions.

Je n'ai jamais trouvé à la Bibliothèque le volume des Annales

(' ) M. Picard (Annales de l'École Normale, 2" série, t. I\, iSSo) a démontré le lliéorème suivant :

Si les équations

Flz) = a

\Hz)^b

ont chacune un nombre limité de racines, la fonction entière V{z) se réduit à un polynôme.

468 CORRESPONDANCE D HKRMITK ET DE STIELTJKS.

qui coulieul le Mémoire de M. Picaitl, mais je ne peux pas rester ainsi sans le connaître.

Votre très dévoué.