HE R MITE A STIELTJES

Paris, 1.5 juin 1889.

Moin cheiî Ami,

Vos recherches sur Q(.r) m'intéressent extrêmement et j ai précédemment suivi avec le j)lus grand plaisir les diverses étapes de votre démonstration que la fonction I («) n'a point de racines.

Mais comment se peut-il que vous n'ayez pas à la bibliothèque le volume des Annales qui contient le théorème de Picard ! Je vais lui demander s'il j)Ourrait vous envover un exemplaire de son travail.

Permettez-moi devons demander votre avis sur cette manière de présenter raj)plication du théorème de M. Mitlag-Leftler aux fonctions doublement périodiques.

La formule générale pour les fonctions y(\2') étant

il convient, pour cette application, d'envisager en particulier, en les réunissant dans un même groupe, les pôles qui se trouvent à l'intérieur d'un parallélogramme formé avec les périodes « et />^ et au sommet arbitraire. Je les nommerai pôles principaux pour abréger, et en désignant l'un quelconque par p, tous les pôles de f{x) seront représentés par p-\-nia^nh. Cela posé, soit cp(a7) la fonction rationnelle ayant pour uniques discontinuités les pôles principaux, et telle que j\x') — '-2(^') soit finie pour toutes les valeurs x =/>. 11 est clair cju'on pourra écrire

f{x) = GCa")-^^ ['f (j"-t- ma + nb ) — ^ ,„.n(x')\,

^ m,n étant un polviu)me auxiliaire tel que la somme étendue à tous les entiers ni^ n représente une série convergente. Je remarquerai que la somme des résidus relatifs aux pôles principaux

étant nulle, on a, en développant suivant les puissances descendantes de j:',

Je conclus de là que la valeur asjm|)totique de la dérivée 'f'(.r)

■>.G , étant — — > la somme

Dt^

représente une fonction analytique et, eu plus, cette fonction est doublement périodique, aux [)ériodes a et 6, d'après sa composition.

On a, par conséquent,

y'(a;) = G -1- 2, ^' {^ -^ nia -H nb), G étant une constante, et il vient en intégrant

f{x) — /( ^ ) = G (\r — ^ ) -I- \^ [ cp ( .r -t- ma -i- «6 ) — cf ( ; -H ma -+- nb)].

Vous \oyezque l'intégration a conduit, [)our le second membre, à une série convergente. Ecrivez, en effet,

cf (a? -1- ma -\- nb) =^ ':j{x — ^ -\- c, -^ ma -+■ nb )

= cp(^ -t- ma -+- nb)

vous voyez que le terme général s'exprime parla dérivée, donc, etc. En particulier, pour /(x) = k- sn-.r, on peut prendre « = 2K,

b^2.i¥J, n^=iK', 's>(.t)=- -•

On reconnaît ensuite très facilement cjue la série

.^ l( X -}- p -h 1 m K -h i. m' t K' )"- (^ -^ P -^ '- '" K -+- ■>. m iK )- J

ne change pas en changeant le signe de x et ^; il suffit pour cela de remplacer m par — met m' par — 1 — m' dans le terme général ; donc C = o et l'on a

k'-isn^x — sn^f )

[x -+- 2/n K -+- {-mi' -\- i)iK' |- [; -h xmK -+- (-îm'-h i)iK']^

470 CORRESPONDANCK DHinnUTI- ET DE STIEI.TJES.

C'est de In que je lire les eAprcssions de B(j"), B, (jr), H(.7) el Y\f(^x) sons forme d'un [tiodint de facteurs primaires.

F]n vous rcuouNelant, mon elier ami. I assurance de mon afl'ection l)icn dé\ouée.