STIELTJES A HERMITE

Toulouse, il) juin i88g.

Cher Monsirur,

( hie je vous plains de l'ingrate besogne qu'on vous demande \ Mais |)arlons plutôt d'Analvse. 11 me semble que \otre analyse pour la décomposition des fonctions doublement |)criodiques ne laisse plus rien à désirer. L'expression asjmptotique de '>^(^)

étant — T» d est évident que la série

^ 'jj{ X -+- ma -\- nb ) — 'f ( J -i- ma -r- nb)

est convergente, de même que

7 o' (X -^ ma ^ nb).

Après bien des recherches, le tome des Anudies rie l'Ecole Normale de i88o se retrouvera bien. On sait du moins à qui on l'a prêté, il y a quelques années déjà, mais je ne l'ai pas encore.

Je suis surtout bien aise d'apprendre par votre lettre que M. Picard a déjà démontré que le nombre total des racines de ^^{x) = a, (.J{j-) ^ b ne peut être fini, ce que je ne savais pas. Mais, dans le cas que M. Picard aurait encore un exemplaire de son Mémoire pour me l'envoyer, je lui serais, en etlet, infiniment obligé et vous voudrez l)ien lui exprimer toute ma gratitude. Voici une remarque que vous avez faite peut-être déjà. Dans \otre Cours de la Sor~ bonne (3^ édit., p. 68), la formule

^J ( n -h i) ( n -h •?.). . .(nn -r- m — i ) '

LKTTKK '221. 471

VOUS sert à (N'inoutier (jiie e-'^' est incoiiiinensiirable lorsque ,r est entier. Ne vaul-il pas la peine de reniar([uer qu'on démontre aussi de cette manière tpie, tant que x est commensurable, e-*' ne l'est pas. Vinsi, lo^.r est incommensiirahie pour x' = -• En etl'et, sup-

posons ./■=—, e' = Y ( ••'! pourra supposer jc = — >■ o I, on aura

le premier menihre est un entier, le second membre est toujours positif et tend vers o pour // = :c, donc contradiction.

Mon adresse à la Haye sera 101 Balistraat, mais je ne peux pas encore déterminer Tépocjue où je |)artirai, car la Faculté ne s'est pas encore réunie pitur parler de la session du baccalauréat. En tout cas, ce sera probablement dans les premiers jours d'août seulement.

En rétlécbissant sur la constante eulérienne C, il me semble pres(pie qu'on poiii'rait arriver à démontre)' rincommenstiral)ilité en parlant de

et des propriétés des intéj^rales définies de la l'orme

Mais c'est une recberche qui demandera beaucoup d'elïbrls et que je rései^ve j)our les vacances. Quoi qu'il en soit, si cette route est obstruée..., je perds aussi la confiance dans mon idée première.

A l'éf^ard de cette question des zéros de Q(d7), j'ai toujours été frappé par un j)assage de la correspondance de Gauss et de Bessel.

Gauss dit que si la fonction entière / d.r admet une racine,

elle en admet nécessairement une infinité et, [)lus tard, il a calculé effectivement l'une des racines. Il affirme aussi la décomposition en facteurs primaires (la fonction de genre zéro ou un, il associe les lacteurs |»rovenant des racines conjuguées). Tout cela a-t-il été bien démontré ? /V présent, cela paraît encore bien mystérieux, .le prépare un petit Mémoire pour nos Annales où je rencontre

47^ cokrespom)AN(;f. dhkkmitk rt df, stieltjes.

la forimile

Y (a) cos T.a = 1 1- h . . . — f i' ( « )

a (.rt -H I I.2.« -h 2

analogue à

r(rt ) = ! . . . H- Q(rt),

a r . rt -t- I I . '2 rt -r > (j'(rt) est une fonction entière qui peul s'expriuier par