STIELTJES A H ERMITE

Toulouse, 1*"^ juillet 1889.

Cheiî Monsieur,

En vous remerciant vivement, je ne peux m'empècher de dire quelques mots sur un résultat que je viens d'obtenir. Je sais que vous êtes profondément engagé dans d'autres lectures, mais je plaide les circonstances atténuantes parce qu'il s'agit d'un sujet qui vous a occupé et intéressé beaucoup il y a quelques mois. Du reste, vous pouvez remettre à plus tard la lecture de ce que je vais écrire, mais je peux vous assurer que c'est presque aussi élémentaire que les- livres de Lacroix, etc.

Il s'agit de l'expression asymptotique des coetïicienls de ^" dans le développement de B(x) et de B, (x).

Pour simplifier un peu l'écriture, je pose

J'obtiens comme il suit les valeurs asymptoliques de A^n et itb„. Le logarithme du terme

étant

■m iog/t — A- a,

le maximum de ce terme, en considérant k comme variable continue, a lieu pour

et la valeur du maximum est

Soient maintenant A' ^ A, H- s, o ^ £ < 1 , A', étant entier et |)(tsilif. Je calcule la valeur du terme k-^"e~^'"^ dont le logaritluiu'

est

■}.nlog(fc — z) — a(A — £)2

= .«logA-A-a-.a-- (^- + + — +.

LETTRE 22i. 47^

-t;^ clanl iiiliiiiineul pedl, j ai asyiiiplolHHiejiK'iil

/ Il \ "

De là je conclus

\a J lll,„= (— i)/m-i ( ^y'e-«[e-2"£'— e-2«(£+i)^^. g-2«(c + 2)''^, .

g-2niS — U-j g-2rt(£ — 2)-( |

E!n elVet, j'ai remplacé ainsi les premiers termes (ceux dans le voisinaj^e du maximum) par leur valeur asjmploti(|ue, quant à ceux d un rang éloigné de ceux-là, ils sont à peu |)rès négligealiles.

Or si je pose

On a, d'après la théorie des fonctions elli|)ti(|ues,

/tJ -^' -'-^

./(•3)= K/j\\-\--îe '' cos7,-« -1- '^e ^oos4'Ji.

j^(5) = 2 1 / - \^e */'■ cosTT^ -t- e **cos3-^-l-.

donc

iTC-h...j,