STIELTJES A HERMITE

Leyde, i5 octobre i883.

Monsieur,

En reprenant le calcul, j'ai, en effet, trouvé que ces deux formules

-+- iG\^[«E(v//i — ac) — 2(— i)c'cE(v/«"— ce')],

In Q =2^" '^" t' - ■^'^Wp)] g'(n -p)

peuvent aisément se réduire l'une à l'autre.

(') .M. le professeur Van den Berg.

34 CORRESPONDANCE d'fIERMITF. ET DE STIELTJES.

ConiiiK' on a «-'(o) =^ —5 la foi-imile (B) peut se meltre aussi sous la forme

(B') F(«)= ■iE(iG)---iG^[i^'îE(Jp)]g'(n-p)

D'un autre côté, on trouve facilement

/• étant égal k n ou k n — 1 . selon que n est pair ou impair. Et puis,

^ « E (v^/i — acj = \^ ^' ( /? ) E {\/n — p )

=^^Wp)s'(n—p) (p=i,2 n — i),

\^ — (— i)c' cE{\/n — -icc') =^ g'ip) E(v''« — -ip) (p= I, 2, 3, . . . ),

(') Eq cfTct

Donc

Celle somme est égale à ou bien à

A raide de ces transformations, la formule (A) se met sous la forme suivante :

^ Sa^] E Wq ) g'in — (j )

(/7 = I, 2, 3, . . .. n — i), j (npair (7 — 2,^,6,.. ,11—1).

{ ( n impair gr = 1 , 3, 5, . . ., 11 — i ) .

En distinguant les deux cas : n pair, n impair, on reconnaît de suite l'identité des formules A' et B'.

En vous communiquant ce calcul, j'espère ne vous point importuner. Du reste, les remarques que j'ai faites à l'occasion des formules que vous avez bien voulu me communiquer ne méritent point de figurer dans un Mémoire que vous vous proposez de faire paraître. '

Le peu de temps que je peux consacrer à l'étude ne me permet point de faire quelque chose qui vaut la peine et parfois je crois que ce serait plus sage d'j renoncer tout à fait.

Cependant j'éprouverai toujours un vif sentiment de reconnaissance en me rappelant l'accueil si bienveillant que vous avez bien voulu faire à votre très dévoué.