HERMITE A STIELTJES

Paris, i5 octobi-e i883.

Moxs

En vous informant que la suite et la fin de votre Note sur l'évaluation approchée des intégrales sont dans le numéro des Comptes rendus que je viens de recevoir, je prends la liberté de vous demander une nouvelle Communication pour l'Académie. C'est à mon tour de ne pas réussir à deviner certaines combinaisons analytiques; il ne m'a pas été possible de voircomment vous êtes parvenu à l'expression de la somme /(i) -1-/(2) -t-. . .-!-/(«) où f'yii) désigne le nombre des représentations de n par la forme

x- -[- "iy- . ^lais voire résultat m'intéresse extrêmement et me semble si remarquable que, dans l'intention d'être agréable aux amis de l'Arithmétique, je viens vous prier de pidilier dans les Comptes rendus la Note extraite de votre dernière lettre, que j'ai transcrite sur une feuille détachée afin que vous puissiez j faire les changements qui vous conviendront. Et, puisque les mêmes questions nous plaisent également, je prends la liberté de vous communiquer sur la fonction que vous aj)pelez g'(x), et qui est désignée par c2(/i) dans Xes Fundainenta, une transformation semblable à celle qui concerne K ( - ) — E (-)-+- E ( ^ j — . . . et permettant de calculer rapidement la somme

* ( /l ) = cp ( I ) t- çp ( 2 ) -f- . . . -f- CD ( n ) ,

c'est-à-dire

*(«) = E(^--j^-3E(-^j-^E(^--JH-....

J'introduis, dans ce but, en outre des fonctions E(.i") et E, (jr) = E(2,r) — riE(.r), la fonction suivante, à savoir :

EH^) = {[E2(.r) + E(.r)].

Elle donne d'abord, en effet, cette expression :

où vous voyez que, dans la première ligne, le nombre des termes

est et, dans la seconde, l'entier compris dans — r— • Je le

réduis à l'entier contenu dans y//i en distinguant deux cas, suivant qu'il s'agit de la somme

<p(3) -I- C5(7) H- 'f (il) -^. . .4- œ(4« — I)

ou bien

t^(l)^-?(5)^-o('^)-^-. .■-+■?(. i/i-Hi)-

C'est la première qui donne la formule la plus simple ; j'obtiens.

en effet, pour cette somme, la quantité suivante :

^ ous avez, ^Jonsieur, très heureusement exprimé ])ar la formule

dont l'idée ne m'était jamais venue, le nombre des représentations de «par une so«ime de quatre carrés, et je mettrai à profit votre expression dans mes recherches. La fonction sommatoire m'a conduit à introduire la quantité ainsi définie (' ) :

E-iix) = E(a;)Ei

et je trouve en faisant ]iour abréger à (n) = [3 -f-( — i)"]'j (/?), les équations suivantes :

mais bien des calculs me restent encore à faire pour arriver à transformer la somme 'i;(i) + '^(a) +. . .-\-'\>{n) de la même manière que cp(3) + 0(7) -+-• • •+ ç(4^i — 0-

Je ne puis douter que vous n'arriviez à démontrer mes formules pour la somme /(i) 4-/(2) -j-. . --{-/{n) en suivant la voie que vous m'avez indiquée. Beaucoup d'autres doivent s'y ajouter, et je m'occupe de les réunir, mais, chemin faisant, je suis revenu à la fonction F(/?) exprimant le nombre des représentations de n paiune somme de trois carrés. On a alors

F(i)--F(2)-^...^F(/0 = 2E(v/rt)+:So(c)[i --E(v//r^=^)], (') Voii" la noie de la page 44-

38 CORRESPONDANCE d'iIKKMITE ET DE STIELTJES.

en supposant que 'f (c) soil le nombre des représentations de c par une somme de deux earrés et qu'on prenne c= i, 2, 3, . . ., n. C'est sous une forme toute paredle que peut se mettre la fonction sommatoire du nombre des décompositions en cinq carrés.

Je souhaite vivement, Monsieur, que les devoirs d'enseignement auquel vous éles appelé vous laissent assez de loisirs pour songer à l'Arithmétique. Permettez-moi de vous demander, lorsque vous me retournerez votre Note ci-jointe, si l'Ecole Polytechnique de Delft est à la fois civile et militaire, comme notre Ecole Poljlechnique, quelle est la durée des études et cjuelles sont les matières de l'enseignement. En vous remerciant de votre intérêt pour ma santé qui, sans être parfaite, ne met cependant pas obstacle à mon travail, je vous prie, Monsieur, de recevoir la nouvelle assurance de jna haute estime et de mes sentiments bien sincèrement dévoués.